2. 连续型随机变量的数学期望

设连续型随机变量 $X$ 的分布密度函数为 $f_X$,则对任 $x$ 有

$$P\left(x\le X\le x+\Delta x\right)={\int }_x^{x+\Delta x}{f}_X\left(t\right)\mathrm{d}t\approx f_X\left(x\right)\Delta x,$$

所以, 设想将 $\left(-\infty ,\infty \right)$ 划分成若干个不相交的有限区间 $\left(x_i,x_{i+1}\right]$, $X$ 取值在每个区间上的概率约为 $f_X\left(x_i\right)\left(x_{i+1}-x_i\right)$, 此时模仿 (4.1.1) 的定义, $X$ 的数学期望应为

$$\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{f}_X\left(x_i\right)\left(x_{i+1}-x_i\right)$$

再使划分越来越细, $X$ 的数学期望应为

$${\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x$$

于是我们有定义 4.1.2.

定义 4.1.2 (连续性随机变量的数学期望)

设连续型随机变量 $X$ 的分布密度函数为 $f_X$. 如果

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\left|x\right|f_X\left(x\right)\mathrm{d}x<\infty ,$$

则称

$$E\left[X\right]={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(4.1.3)}$$

为 $X$ 的数学期望 (或均值), 简称为 $X$ 的期望.

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与离散型随机变量的情形类似, 若 $g$ 为实变量的实值函数, 且

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\left|g\left(x\right)\right|f_X\left(x\right)\mathrm{d}x<\infty ,$$

则可以证明 (需要较深的数学知识),

$$E\left[g\left(X\right)\right]={\int }_{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)f_X\left(x\right)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(4.1.4)}$$

公式 (4.1.4) 告诉我们, 要计算 $E\left[g\left(X\right)\right]$, 无需先求得 $g\left(X\right)$ 的分布密度函数.

下面作为例子, 我们计算几类重要连续型分布的数学期望.

• 例 4.1.4 (均匀分布的数学期望)
• 例 4.1.5 (正态分布的数学期望)
• 例 4.1.6 (指数分布的数学期望)
• 例 4.1.7 (柯西分布的数学期望)
• 例 4.1.8 (正弦函数的数学期望)
• 1.5
• 1.8