3.17

设随机变量 $X$ 在 $[a, b]$ 上服从均匀分布, 求 $X$ 的 $k$ 阶原点矩和三阶中心矩.

解

E (X^{k}) = \int_{a}^{b} x^{k} \frac{1}{b - a} d x = \frac{1}{k + 1} \cdot \frac{x ^{k + 1}}{b - a}_{a}^{b} = \frac{1}{k + 1} \cdot \frac{b ^{k + 1} - a ^{k + 1}}{b - a} .

当 $k = 1$ 时, 有 $EX = \frac{b + a}{2}$ , 故

E (X - EX)^{3} = \int_{a}^{b} (x - \frac{b + a}{2})^{3} \frac{1}{b - a} d x = 0.

设 $X \sim N (0, 1)$ , 求 $X$ 的 $k$ 阶原点矩及中心矩.

因为 $EX = μ = 0$ ,所以 $X$ 的原点矩及中心矩相同,即

E (X - EX)^{k} = E (X^{k}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{k} \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{k} e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

当 $k$ 为奇数时,上式积分中被积函数为奇函数,故

E (X^{k}) = 0

当 $k$ 为偶数时,被积函数为偶函数,此时

E (X^{k}) = \frac{2}{π} \int_{0}^{+ \infty} x^{k} e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

令 $y = \frac{x ^{2}}{2}$ ,得

E (X^{k}) = \frac{1}{π} 2^{\frac{k}{2}} \int_{0}^{+ \infty} y^{\frac{k - 1}{2}} e^{- y} d y = \frac{1}{π} 2^{\frac{k}{2}} Γ (\frac{k + 1}{2}) = (k - 1) (k - 3) \dots 3 \cdot 1 .

设 $(X, Y)$ 的协方差矩阵为 $C = (1 - 1 - 1 9)$ , 求 $r (X, Y)$ .

由协方差矩阵的定义可知:

Cov (X, Y) = - 1, D (X) = 1, D (Y) = 9,

则

ρ_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )} = \frac{- 1}{1 \cdot 9} = - \frac{1}{3} .