题型 4. 利用中心极限定理求概率

方法与技巧

中心极限定理常用来解决概率的近似计算问题, 使用方法如下:

(1) 列维一林德伯格定理用于随机变量之和或均值的概率的近似计算.

列维一林德伯格中心极限定理表明, 当 $n$ 充分大时, 相互独立服从同一分布且存在有限期望与方差的随机变量之和近似服从正态分布, 该定理实质上提供了计算独立同分布的随机变量之和的概率的近似方法, 若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布且 $E{X}_i=\mu$, $D{X}_i={\sigma }^2$, $i=1,2,\cdots ,n$, 则 $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$ 近似服从 $N\left(n\mu ,n{\sigma }^2\right)$, 因此当 $n$ 比较大时, 求 $P\left\{a\le S_n\le b\right\}$ 需首先将 $S_n$ 标准化, 也就是说

$$\begin{array}{rl}P\left\{a\le S_n\le b\right\}& =P\left\{\frac{a-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\le \frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\le \frac{b-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right\}\\ & \approx \Phi \left(\frac{b-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right)-\Phi \left(\frac{a-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right),\end{array}$$

其中 $\Phi \left(x\right)$ 是标准正态分布函数.

定理的另一种形式为:

当 $n$ 充分大时, $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ 近似服从 $N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$, 该形式可近似计算关于均值的概率.

(2) 棣莫弗一拉普拉斯定理用于二项分布的近似计算.

定理表明:设 $X\sim B\left(n,p\right)$, 则当 $n$ 充分大时, $X$ 近似服从 $N\left(np,np\left(1-p\right)\right)$.

1.11

一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的,

• 假设每箱
  • 平均重 50 千克,
  • 标准差为 5 千克,
• 若用最大载重量为 5 吨的汽车承运,

试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱, 才能保障不超载的概率大于 0.977. ( $\Phi \left(2\right)=0.977$, 其中的 $\Phi \left(x\right)$ 是标准正态分布函数).

解

设 $X_i=$ “装运的第 $i$ 箱的重量(单位:千克)”, $i=1,2,\cdots ,n$. $n$ 为箱数. 根据题意, $X_1,X_2,\cdots$, $X_n$ 独立同分布,而 $n$ 箱的总重量可记为 $U_n=\sum _{i=1}^n{X}_i.$ 因为 $E{X}_i=50$, $\sqrt{D{X}_i}=5$, 所以 $E{U}_n=\sum _{i=1}^{n}E{X}_i=50n,$

那么由列维一林德伯格中心极限定理知, $U_n$ 近似服从于 $N\left(50n,25n\right)$. 而所求的箱数 $n$ 取决于条件

$$\begin{array}{rl}P\left\{U_n\le 5000\right\}& =P\left\{\frac{U_n-50n}{5\sqrt{n}}\le \frac{5000-50n}{5\sqrt{n}}\right\}\\ & \approx \Phi \left(\frac{1000-10n}{\sqrt{n}}\right)\\ & >0.977\\ & =\Phi \left(2\right).\end{array}$$

所以 $\frac{1000-10n}{\sqrt{n}}>2$ 即 $n<98.0199$. 亦即每辆车最多可以装 98 箱.

1.12

某单位设置一电话总机, 共有 200 个电话分机, 设每个电话分机有 5% 的时间要使用外线通话, 假设每个分机是否使用外线通话是相互独立的. 问总机要多少外线才能以 90% 的概率保证每个分机要使用外线时可供使用.

解

设同时使用外线的分机的台数为 $X$, 则 $X\sim B\left(n,p\right)$, 其中

• $n=200$,
• $p=0.05$,
• $np=10$,
• $\sqrt{np\left(1-p\right)}=3.08.$

又设该单位安装 $N$ 条外线, 依题意, 求 $P\{X\le N\}\ge 0.9$ 的最小 $N$, 由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理

$$\begin{array}{rl}P\left\{X\le N\right\}& =P\left\{\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le \frac{N-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right\}\\ & \approx \Phi \left(\frac{N-10}{3.08}\right).\end{array}$$

查标准正态分布表,可知 $\Phi \left(1.28\right)=0.9$,故 $N$ 应满足

$$\frac{N-10}{3.08}\ge 1.28$$

即 $N\ge 10+1.28\times 3.08=13.94.$

取 $N=14$, 即至少要安装 14 条外线.

1.13

测量某物体的长度时, 由于存在测量误差, 每次测得的长度只能是近似值. 现进行多次测量,然后取这些测量值的平均值作为实际长度的估计值, 假定 $n$ 个测量值 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是独立同分布的随机变量, 具有共同的期望 $\mu$ (即实际长度) 及方差 $\sigma =1$, 试问要以 95% 的把握可以确信其估计值精确到 $\pm 0.2$ 以内, 必须测量多少次?

解

考虑用中心极限定理来估计, 则有

$$\begin{array}{rl}P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu \right|\le 0.2\right\}& =P\left\{\left|\frac{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\right|\le \frac{0.2\sqrt{n}}{\sigma }\right\}\\ & \approx 2\Phi \left(\frac{0.2\sqrt{n}}{\sigma }\right)-1\\ & =2\Phi \left(0.2\sqrt{n}\right)-1(\text{since }\sigma =1)\end{array}$$

要求 $2\Phi \left(0.2\sqrt{n}\right)-1=0.95\Phi \left(0.2\sqrt{n}\right)=0.975$

所以 $0.2\sqrt{n}=1.96$,

解得 $n\ge 96.04$.

需要测量 97 次以上,以 95% 的把握确信估计值与真值之差的绝对值不超过 0.2.