5.2 中心极限定理

在介绍中心极限定理之前, 我们先介绍 依分布收敛

定义 5.2.1 (中心极限定理)

设 $X_1,X_2,\cdots$ 为随机变量序列,具有有限的数学期望和方差,

$$\frac{\sum _{k=1}^n\left(X_k-E\left[X_k\right]\right)}{\sqrt{\mathrm{Var}\left[\sum _{k=1}^n{X}_k\right]}}\stackrel{d}{\to }N\left(0,1\right),\text{\hspace{1em}(5.2.1)}$$

则称 $X_1,X_2,\cdots$ 服从中心极限定理.

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• 中心极限定理使用的拓扑

对于随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots$, 为独立同分布的情形, 林德伯格 (Lindeberg) 和莱维 (Lévy) 得到下列中心极限定理.

Transclude of 定理-5.2.1-(林德伯格---莱维定理)#statement

根据定理 5.2.1, 当 $n$ 很大时, 无论独立同分布的随机变量序列服从何种分布, 其部分和的分布都可以近似地用正态分布来代替.

• (1) 列维一林德伯格定理用于随机变量之和或均值的概率的近似计算.
• 例 5.2.1 (应用林德伯格 - 莱维定理)
• 1.11

对于独立随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots$, 同服从 $B\left(1,p\right)$ 的情形, 棣莫弗 (De Moivre) 和拉普拉斯 (Laplace) 得到了下列中心极限定理.

定理 5.2.2 (棣莫弗-拉普拉斯定理)

设 $X_1,X_2,\cdots$ 为独立同分布随机变量序列, 同服从 $B\left(1,p\right)$, 则 $X_1,X_2,\cdots$,服从中心极限定理,即

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\frac{1}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}\left[\sum _{k=1}^n{X}_k-np\right]\le x\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{\mathrm{e}}^{-\frac{u^2}{2}}\mathrm{d}u.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.2.3)}$$Link to original

Moire-Laplace vs Lindeberg-Levy

因为对于 $X\sim B\left(1,p\right)$,有 $E\left[X\right]=p$ 和 $\mathrm{Var}\left[X\right]=p\left(1-p\right)$. 显然,定理 5.2.2 是定理 5.2.1 的推论. 定理 5.2.2 是历史上最早的中心极限定理, 它由棣莫弗 1716 年,对 $p=\frac{1}{2}$ 首次给出了 (5.2.3) 的证明,后来由拉普拉斯推广到一般 $p$ 的情形. (Lindeberg-Levy定理 大概在 1920 年代形成)。

大家知道,二项分布的随机变量是 $n$ 个独立的同服从 $B\left(1,p\right)$ 的随机变量的和 (参见例 4.2.3), 所以可由定理 5.2.2 对二项分布作近似计算.

• (2) 棣莫弗一拉普拉斯定理用于二项分布的近似计算.
• 例 5.2.2 (影院座位设置)
• 1.12
• 1.24