题型 5. 综合提高题型

1.14

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 是独立同分布的随机变量序列,且

${X}_{i}$
$P$

令 $Y_n=\sum _{i=1}^n{X}_i,n=1,2,\cdots ,\Phi \left(x\right)$ 为标准正态分布函数,则 $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{Y_n-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}\le 1\right\}=$ ( ).

(A) 0 (B) $\Phi \left(1\right)$ (C) $1-\Phi \left(1\right)$ (D) 1

解

由中心极限定理

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{Y_n-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}\le x\right\}=\Phi \left(x\right),x\text{为任意实数}$$

则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{Y_n-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}\le 1\right\}=\Phi \left(1\right).$$

故应选(B).

1.15

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 相互独立,且 $X_i$ 都服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的指数分布,则当 $n$ 充分大时,随机变量 $Z_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ 的概率分布近似服从 ( ).

(A) $N\left(2,4\right)$ (B) $N\left(2,\frac{4}{n}\right)$ (C) $N\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4n}\right)$ (D) $N\left(2n,4n\right)$

解

因为 $X_i\sim E\left(\frac{1}{2}\right)$,所以 $E{X}_i=2,D{X}_i=4$.

由中心极限定理, $\sum _{i=1}^n{X}_i$ 近似服从 $N\left(2n,4n\right)$,或者 $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ 近似服从 $N\left(2,\frac{4}{n}\right)$ (当 $n$ 充分大时).

故应选(B).

1.16

设 $\Phi \left(x\right)$ 为标准正态分布函数,

$$X_i=\{\begin{array}{ll}0,& A\text{ 不发生 }\\ 1,& A\text{ 发生 }\end{array}\left(i=1,2,\cdots ,100\right),$$

且 $P\left(A\right)=0.8,X_1,X_2,\cdots ,X_{100}$ 相互独立. 令 $Y=\sum _{i=1}^{100}{X}_i$,则由中心极限定理知 $Y$ 的分布函数 $F\left(y\right)$ 近似于( ).

(A) $\Phi \left(y\right)$ (B) $\Phi \left(\frac{y-80}{4}\right)$ (C) $\Phi \left(16y+8\right)$ (D) $\Phi \left(4y+80\right)$

解

由题意 $Y$ 服从二项分布 $B\left(100,0.8\right)$,

$$EY=80,DY=16,$$

故由中心极限定理可知,当 $n$ 充分大时, $Y$ 近似服从正态分布 $N\left(80,16\right)$,

则 $Y$ 的分布函数 $F\left(y\right)\approx \Phi \left(\frac{y-80}{4}\right)$ (当 $n$ 充分大时).

故应选(B).

1.17

假设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 独立同分布,且 $E{X}_n=0$,则 $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\sum _{i=1}^n{X}_i<n\right\}=$ ( ).

(A) 0 (B) $\frac{1}{4}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) 1

解

由此题条件及所求概率,考虑用辛钦大数定律:

对 $\forall \epsilon >0,\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-E{X}_n\right|<\epsilon \right\}=1$.

因为 $E{X}_n=0$,取 $\epsilon =1$,则

$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\sum _{i=1}^n{X}_i\right|<n\right\}=1$. 又 $\left\{\left|\sum _{i=1}^n{X}_i\right|<n\right\}\subset \left\{\sum _{i=1}^n{X}_i<n\right\},$

所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{\sum _{i=1}^n{X}_i<n\right\}=1$.

故应选(D).

1.18

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{x}^2{\mathrm{e}}^{-x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$, 试用切比雪夫不等式估计概率 $P\{1<X<5\}>$ ___.

解

$EX={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)\mathrm{d}x=3$,

$DX=E\left(X^2\right)-{\left(EX\right)}^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x-9=3.$

则 $P\{1<X<5\}=P\{\left|X-3\right|<2\}>1-\frac{DX}{2^2}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.

故应填 $\frac{1}{4}$.

1. 19

设 $X\sim U\left[-1,b\right]$,若由切比雪夫不等式有 $P\{\left|X-1\right|<\epsilon \}\ge \frac{2}{3}$,则 $b=$ _____； $\epsilon =$ _____.

解

因为 $EX=\frac{b-1}{2},DX=\frac{{\left(b+1\right)}^2}{12}$,所以 $\frac{b-1}{2}=1,1-\frac{\frac{{\left(b+1\right)}^2}{12}}{{\epsilon }^2}=\frac{2}{3}$,

则 $b=3,\epsilon =2$.

1.20

在每次试验中事件 $A$ 发生的概率等于 0.5,利用切比雪夫不等式,则在 1000 次独立试验中事件 $A$ 发生的次数在 450 至 550 之间的概率为_____.

解

设随机变量 $X$ 表示事件 $A$ 在 1000 次试验中发生的次数,则 $X$ 服从二项分布 $B\left(1000,0.5\right)$, 易知

$$E\left(X\right)=np=1000\times 0.5=500.$$ $$D\left(X\right)=np\left(1-p\right)=1000\times 0.5\times 0.5=250.$$

因为 $P\{450\le X\le 550\}=P\{\left|X-500\right|\le 50\}$,由切比雪夫不等式

$$P\{\left|X-E\left(X\right)\right|<\epsilon \}\ge 1-\frac{D\left(X\right)}{{\epsilon }^2},$$

所以 $P\{\left|X-500\right|\le 50\}\ge 1-\frac{250}{{50}^2}=0.9$,即

$$P\{450\le X\le 550\}\ge 0.9.$$

故应填 0.9.

1.21

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 为相互独立的随机变量序列,且 $X_i\left(i=1,2,\cdots \right)$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,则 $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\le x\right\}=$

解

$E\left(X_i\right)=\lambda ,D\left(X_i\right)=\lambda$,代入独立同分布的中心极限定理,即得

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\le x\right\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t\text{ 或 }\Phi \left(x\right).$$

1.22

一加法器同时收到 20 个噪声电压 $V_i\left(i=1,\cdots ,20\right)$. 设它们相互独立且都服从 $\left(0,10\right)$ 上的均匀分布,则 $P\left\{\sum _{i=1}^{20}{V}_i>105\right\}=$ _____.

解

因为 $E{V}_i=5,D{V}_i=\frac{100}{12}$,由中心极限定理可知 $\sum _{i=1}^{20}{V}_i$ 近似服从 $N\left(100,\frac{500}{3}\right)$,所以

$$P\left\{\sum _{i=1}^{20}{V}_i>105\right\}\approx 1-\Phi \left[\frac{105-100}{\sqrt{\frac{500}{3}}}\right]=1-\Phi \left(0.39\right)=0.3483.$$

1.23

某市有 50 个无线寻呼台,每个寻呼台在每分钟内收到的电话呼叫次数服从参数 $\lambda =0.05$ 的泊松分布,则该市在某时刻一分钟内的呼叫次数的总和大于 3 次的概率是_____.

解

设第 $i$ 个寻呼台在给定时刻一分钟内收到的呼叫次数为 $X_i\left(i=1,2,\cdots ,50\right)$,则该市在此时刻一分钟内收到的呼叫总数为 $S=\sum _{i=1}^{50}{X}_i$,且

$$E\left(X_i\right)=\lambda =0.05$$ $$D\left(X_i\right)=\lambda =0.05$$

所以, 根据独立同分布中心极限定理, 有

$S$ 近似服从 $N\left(50\times 0.05,50\times 0.05\right)=N\left(2.5,2.5\right)$

于是,所求概率为

$$\begin{array}{rl}P\left\{S>3\right\}& =1-P\left\{S\le 3\right\}\\ & \approx 1-\Phi \left(\frac{3-2.5}{\sqrt{2.5}}\right)\\ & =1-\Phi \left(0.3162\right)\\ & =\mathrm{0.3745.}\end{array}$$

1.24

在一家保险公司里有 10000 人参加保险, 每人每年付 12 元保险费. 在一年内一个人死亡的概率为 0.006, 死亡后家属可向保险公司领取 1000 元. 试求: (1) 保险公司亏本的概率； (2) 保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率.

解

1

设参加保险的 10000 人中一年死亡的人数为 $X$, 则有 $X\sim B\left(10000,0.006\right),EX=60$, $DX\approx {7.72}^2$

公司一年收保险费 120000 元,付给死者家属 $1000X$ 元. 当 $1000X-120000>0$ 时, 即 $X>120$ 时公司就亏本了. 所以亏本的概率为:

$$P\{X>120\}=1-P\{X\le 120\}.$$

由中心极限定理, $X$ 近似服从 $N\left(60,{7.72}^2\right)$. 于是

$$\begin{array}{rl}P\left\{X>120\right\}& =1-P\left\{\frac{X-60}{7.72}\le \frac{120-60}{7.72}\right\}\\ & =1-P\left\{\frac{X-60}{7.72}\le 7.77\right\}\\ & \approx 1-\Phi \left(7.77\right)\\ & \approx 1-1\\ & =0.\end{array}$$

2

公司年利润不少于 60000 元就是 $120000-1000X\ge 60000$, 即 $0\le X\le 60$, 其概率为

$$\begin{array}{rl}P\left\{0\le X\le 60\right\}& =P\left\{\frac{0-60}{7.72}\le \frac{X-60}{7.72}\le \frac{60-60}{7.72}\right\}\\ & =P\left\{-7.77\le \frac{X-60}{7.72}\le 0\right\}\\ & \approx \Phi \left(0\right)-\Phi \left(-7.77\right)\\ & \approx 0.5-0\\ & =\mathrm{0.5.}\end{array}$$

1.25

现有一大批种子,其中良种占 $\frac{1}{6}$,现从中任取 6000 粒. 试分别 (1) 用切比雪夫不等式估计; (2) 用中心极限定理计算: 这 6000 粒中良种所占的比例与 $\frac{1}{6}$ 之差的绝对值不超过 0.01 的概率.

解

设 6000 粒中的良种数量为 $X$,则 $X\sim B\left(6000,\frac{1}{6}\right)$.

(1)要估计的概率为

$$P\left\{\left|\frac{X}{6000}-\frac{1}{6}\right|<\frac{1}{100}\right\}=P\{\left|X-1000\right|<60\}$$

相当于在切比雪夫不等式中取 $\epsilon =60$,于是由切比雪夫不等式可得

$$P\left\{\left|\frac{X}{6000}-\frac{1}{6}\right|<\frac{1}{100}\right\}=P\{\left|X-1000\right|<60\}$$ $$\ge 1-\frac{D\left(X\right)}{{60}^2}=1-\frac{5}{6}\times 1000\times \frac{1}{3600}$$ $$=1-0.2315=0.7685\text{,}$$

即用切比雪夫不等式估计此概率值不小于 0.7685.

( 2 )由拉普拉斯中心极限定理,二项分布 $B\left(6000,\frac{1}{6}\right)$ 可用正态分布 $N\left(1000,\frac{5}{6}\times 1000\right)$ 近似, 于是, 所求概率为

$$P\left\{\left|\frac{X}{6000}-\frac{1}{6}\right|<\frac{1}{100}\right\}=P\{\left|X-1000\right|<60\}=P\left\{\left|\frac{X-1000}{\sqrt{\frac{5}{6}\times 1000}}\right|<\frac{60}{\sqrt{\frac{5}{6}\times 1000}}\right\}$$ $$\approx 2\Phi \left(2.0784\right)-1=2\times 0.98124-1\approx 0.9625.$$

比较两个结果, 用切比雪夫不等式估计是比较粗略的.

1.26

据以往经验, 某种电气元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布, 现随机地取 16 只,设它们的寿命是相互独立的,求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率.

解

记 16 只电气元件的寿命分别为 $X_1,X_2,\cdots ,X_{16}$,则这 16 只元件的寿命之和为 $\sum _{i=1}^{16}{X}_i$, 依题意, $E\left(X_i\right)=100,D\left(X_i\right)={100}^2$,根据独立同分布的中心极限定理

$$Z=\frac{\sum _{i=1}^{16}{X}_i-16\times 100}{4\times 100}=\frac{X-1600}{400}$$

近似地服从 $N\left(0,1\right)$,于是

$$P\{X>1920\}=1-P\{X\le 1920\}=1-P\left\{\frac{X-1600}{400}\le \frac{1920-1600}{400}\right\}$$ $$\approx 1-\Phi \left(0.8\right)=0.2119.$$

1.27

某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占 20%,以 $X$ 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.

(1)写出 $X$ 的概率分布；

(2)利用棣莫弗一拉普拉斯定理,求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值.

附表: 设 $\Phi \left(x\right)$ 是标准正态分布函数

$x$	0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
$\Phi \left( x\right)$	0.500	0.692	0.841	0.933	0.977	0.944	0.999

解

(1) $X$ 服从二项分布,参数 $n=100,p=0.2$,

$$P\{X=k\}=C_{100}^k{0.2}^k{0.8}^{100-k}\left(k=0,1,\cdots ,100\right);$$

(2) $E\left(X\right)=np=20,D\left(X\right)=np\left(1-p\right)=16$.

根据棣莫弗一拉普拉斯定理

$$P\{14\le X\le 30\}=P\left\{\frac{14-20}{\sqrt{16}}\le \frac{X-20}{\sqrt{16}}\le \frac{30-20}{\sqrt{16}}\right\}=P\left\{-1.5\le \frac{X-20}{4}\le 2.5\right\}$$ $$\approx \Phi \left(2.5\right)-\Phi \left(-1.5\right)=\Phi \left(2.5\right)-\left[1-\Phi \left(1.5\right)\right]$$ $$=0.994-\left(1-0.933\right)=0.927\text{.}$$

1.28

一部件包括 10 部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05mm,规定总长度为 $\left(20\pm 0.1\right)\mathrm{mm}$ 时产品合格,试求产品合格的概率.

解

设 $X_i$ 表示该部件第 $i$ 部分的长度 $\left(i=1,2,\cdots ,10\right)$,由题意知 $E{X}_i=2,D{X}_i={0.05}^2$, $X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$ 独立同分布,由中心极限定理知, $\sum _{i=1}^{10}{X}_i$ 近似服从 $N\left(10\times 2,10\times {0.05}^2\right)$ 分布.

$$P\left\{19.9<\sum _{i=1}^{10}{X}_i<20.1\right\}=P\left\{\frac{19.9-10\times 2}{\sqrt{10}\times 0.05}<\frac{\sum _{i=1}^{10}{X}_i-10\times 2}{\sqrt{10}\times 0.05}<\frac{20.1-10\times 2}{\sqrt{10}\times 0.05}\right\}$$ $$=P\left\{-0.6325<\frac{\sum _{i=1}^{10}{X}_i-20}{\sqrt{10}\times 0.05}<0.6325\right\}$$ $$\approx \Phi \left(0.6235\right)-\Phi \left(-0.6235\right)=2\Phi \left(0.6235\right)-1$$ $$\approx 2\times 0.7357-1=0.4714.$$

1.29

计算器在进行加法时,将每个加数舍入最靠近它的整数. 设所有舍入误差是独立的且在 $\left(-0.5,0.5\right)$ 上服从均匀分布. (1) 若将 1500 个数相加,问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少? (2) 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不少于 0.90?

解

设每个加数的舍入误差为 $X_i\left(i=1,2,\cdots ,1500\right)$,由题设知 $X_i$ 独立同分布,且在 $\left(-0.5,0.5\right)$ 上服从均匀分布,从而

$$E\left(X_i\right)=\frac{-0.5+0.5}{2}=0,D\left(X_i\right)=\frac{{\left(0.5+0.5\right)}^2}{12}=\frac{1}{12}.$$

( 1 )设 $X=\sum _{i=1}^{1500}{X}_i$,由独立同分布的中心极限定理有 $\frac{X-1500\times 0}{\sqrt{1500}\times \sqrt{\frac{1}{12}}}$ 近似地服从 $N\left(0,1\right)$,

从而

$$P\{\left|X\right|>15\}=1-P\{\left|X\right|\le 15\}=1-P\left\{-\frac{15}{\sqrt{125}}\le \frac{X}{\sqrt{125}}\le \frac{15}{\sqrt{125}}\right\}$$ $$\approx 2-2\Phi \left(1.34\right)=0.1802.$$

即误差总和的绝对值超过 15 的概率约为 0.1802.

(2)记 $Y=\sum _{i=1}^n{X}_i$,要使 $P\{\left|Y\right|<10\}\ge 0.90$. 由独立同分布的中心极限定理,近似地有

$$P\{\left|Y\right|<10\}=P\{-10<Y<10\}$$ $$=P\left\{\frac{-10}{\sqrt{\frac{n}{12}}}<\frac{Y}{\sqrt{\frac{n}{12}}}<\frac{10}{\sqrt{\frac{n}{12}}}\right\}\approx 2\Phi \left(\frac{10}{\sqrt{\frac{n}{12}}}\right)-1\ge 0.90$$

即 $\Phi \left(\frac{10}{\sqrt{\frac{n}{12}}}\right)\ge 0.95$,查表得 $\frac{10}{\sqrt{\frac{n}{12}}}\ge 1.645$,

故 $n\le 443$. 即最多有 443 个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不少于 0.90.

1.30

有一批建筑房屋用的木柱,其中 $80\%$ 的长度不小于 $3\mathrm{m}$,现在这批木柱中随机地取出 100 根,问其中至少有 30 根短于 $3\mathrm{m}$ 的概率是多少?

解

记 $X$ 为 100 根木柱中长度小于 $3\mathrm{m}$ 的木柱根数,则 $X\sim B\left(100,0.2\right)$. 由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知

$$P\{X\ge 30\}=1-P\{X<30\}=1-P\left\{\frac{X-100\times 0.2}{\sqrt{100\times 0.2\times 0.8}}<\frac{30-100\times 0.2}{\sqrt{100\times 0.2\times 0.8}}\right\}$$ $$=1-\Phi \left(\frac{30-20}{4}\right)=1-\Phi \left(2.5\right)=1-0.9938=0.0062.$$

1.31

一公寓有 200 户住户,一户住户拥有汽车辆数 $X$ 的分布律为

$X$	0	1	2
${p}_{k}$	0.1	0.6	0.3

问需要多少车位, 才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为 0.95.

解

设需要车位数为 $n$,且设第 $i\left(i=1,2,\cdots ,200\right)$ 户有车辆数为 $X_i$,则由 $X_i$ 的分布律知

$$E\left(X_i\right)=0\times 0.1+1\times 0.6+2\times 0.3=1.2,$$ $$E\left(X_i^2\right)=0^2\times 0.1+1^2\times 0.6+2^2\times 0.3=1.8,$$

故

$$D\left(X_i\right)=E\left(X_i^2\right)-{\left[E\left(X_i\right)\right]}^2=1.8-{1.2}^2=0.36.$$

因共有 200 户, 各户占有车位数相互独立. 从而近似地有

$$\sum _{i=1}^{200}{X}_i\sim N\left(200\times 1.2,200\times 0.36\right).$$

今要求车位数 $n$ 满足

$$0.95\le P\left\{\sum _{i=1}^{200}{X}_i\le n\right\},$$

由正态近似知,上式中 $n$ 应满足

$$0.95\le \Phi \left(\frac{n-200\times 1.2}{\sqrt{200\times 0.36}}\right)=\Phi \left(\frac{n-240}{\sqrt{72}}\right),$$

因 $0.95=\Phi \left(1.645\right)$,从而由 $\Phi \left(x\right)$ 的单调性知 $\frac{n-240}{\sqrt{72}}\ge 1.645$,故

$$n\ge 240+1.645\times \sqrt{72}=253.96.$$

由此知至少需 254 个车位.

1.32

某种小汽车氧化氮的排放量的数学期望为 $0.9\mathrm{g}/\mathrm{km}$,标准差为 $1.9\mathrm{g}/\mathrm{km}$,某公司有这种汽车 100 辆,以 $\bar{X}$ 表示这些车辆的氧化氮排放量的算数平均,问当 $L$ 何值时, $\bar{X}>L$ 的概率不超过 0.01.

解

设以 $X_i\left(i=1,2,\cdots ,100\right)$ 表示第 $i$ 辆小汽车氧化氮的排放量,则

$$\bar{X}=\frac{1}{100}\sum _{i=1}^{100}{X}_i$$

由已知条件 $E\left(X_i\right)=0.9,D\left(X_i\right)={1.9}^2$ 得

$$E\left(\bar{X}\right)=0.9,D\left(\bar{X}\right)=\frac{{1.9}^2}{100}.$$

各辆汽车氧化氮的排放量相互独立, 故可认为近似地有

$$\bar{X}\sim N\left(0.9,\frac{{1.9}^2}{100}\right).$$

需要计算的是满足 $P\{\bar{X}>L\}\le 0.01$ 的最小值 $L$.

由中心极限定理

$$P\{\bar{X}>L\}=P\left\{\frac{\bar{X}-0.9}{0.19}>\frac{L-0.9}{0.19}\right\}\le 0.01.$$

$L$ 应为满足 $1-\Phi \left(\frac{L-0.9}{0.19}\right)\le 0.01$ 的最小值,即

$$\Phi \left(\frac{L-0.9}{0.19}\right)\ge 0.99=\Phi \left(2.33\right),\text{ 即 }\frac{L-0.9}{0.19}\ge 2.33,$$

故 $L\ge 0.9+0.19\times 2.33=1.3427$,应取 $L=1.3427\mathrm{g}/\mathrm{km}$.

1.33

随机地选取两组学生,每组 80 人,分别在两个实验室里测量某种化合物的 $\mathrm{pH}$ 值. 各人测量的结果是随机变量, 它们相互独立, 且服从同一分布, 其数学期望为 5, 方差为 0.3, 以 $\overline{X},\overline{Y}$ 分别表示第一组和第二组所得结果的算数平均:

(1) 求 $P\{4.9<\bar{X}<5.1\}$;

(2) 求 $P\{-0.1<\bar{X}-\bar{Y}<0.1\}$.

解

(1)令 $X_i$ 表示第一组第 $i$ 人测量结果,则 $E{X}_i=5,D{X}_i=0.3,\left(i=1,2,\cdots ,80\right)$. 由中心极限定理

$$P\{4.9<\bar{X}<5.1\}=\left\{\frac{4.9-5}{\sqrt{\frac{0.3}{80}}}<\frac{\bar{X}-5}{\sqrt{\frac{0.3}{80}}}<\frac{5.1-5}{\sqrt{\frac{0.3}{80}}}\right\}\approx \Phi \left(\frac{4}{\sqrt{6}}\right)-\Phi \left(-\frac{4}{\sqrt{6}}\right)$$ $$=2\Phi \left(1.63\right)-1=0.8968.$$

(2)令 $Y_j$ 表示第二组第 $j$ 人测量结果,则 $E{Y}_j=5,D{Y}_j=0.3\left(j=1,2,\cdots ,80\right)$

$$E\bar{X}=E\bar{Y}=5,D\bar{X}=D\bar{Y}=\frac{0.3}{80}=\frac{3}{800},$$ $$E\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)=0,D\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)=D\bar{X}+D\bar{Y}=\frac{3}{400},$$ $$P\{-0.1<\bar{X}-\bar{Y}<0.1\}=P\left\{\frac{-0.1}{\sqrt{\frac{3}{400}}}<\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{3}{400}}}<\frac{0.1}{\sqrt{\frac{3}{400}}}\right\}\approx \Phi \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)-\Phi \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$ $$=2\Phi \left(1.16\right)-1=0.754\text{.}$$

1.34

某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望 $\mu$ (未知),方差 ${\sigma }^2=400$. 为了估计 $\mu$,随机地取 $n$ 只这种器件,在时刻 $t=0$ 投入测试 (设测试是相互独立的) 直至失效,测得其寿命为 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$,以 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k$ 作为 $\mu$ 的估计. 为了使 $P\{\left|\bar{X}-\mu \right|<1\}\ge 0.95$,问 $n$ 至少为多少?

解

$X_k$ 表示第 $k$ 个器件寿命, $k=1,2,\cdots ,n$,

$$E{X}_k=\mu ,D{X}_k=400,E\bar{X}=\mu ,D\bar{X}=\frac{D{X}_k}{n}=\frac{400}{n},$$ $$P\{\left|\bar{X}-\mu \right|<1\}=P\left\{\left|\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{400}{n}}}\right|<\frac{1}{\sqrt{\frac{400}{n}}}\right\}=\Phi \left(\frac{\sqrt{n}}{20}\right)-\Phi \left(-\frac{\sqrt{n}}{20}\right)$$ $$=2\Phi \left(\frac{\sqrt{n}}{20}\right)-1\ge 0.95\text{.}$$

故 $\Phi \left(\frac{\sqrt{n}}{20}\right)\ge 0.975=\Phi \left(1.96\right)$. 有 $\frac{\sqrt{n}}{20}\ge 1.96$,得 $n\ge 1536.64$.

因此 $n$ 至少为 1537.

1.35

一工人修理一台机器需两个阶段,第一阶段所需时间(小时)服从均值为 0.2 的指数分布, 第二阶段服从均值为 0.3 的指数分布, 且与第一阶段独立. 现有 20 台机器需要修理. 求他在 8 小时内完成的概率.

解

设修理第 $i$ 台机器 $\left(i=1,2,\cdots ,20\right)$ 第一阶段耗时 $X_i$,第二阶段耗时 $Y_i$,则共耗时 $Z_i=$ $X_i+Y_i$.

由已知 $E\left(X_i\right)=0.2,E\left(Y_i\right)=0.3$,故

$$E\left(Z_i\right)=E\left(X_i\right)+E\left(Y_i\right)=0.5,$$ $$D\left(Z_i\right)=D\left(X_i\right)+D\left(Y_i\right)={0.2}^2+{0.3}^2=0.13.$$

由中心极限定理, 20 台机器需要修理的时间近似服从正态分布, 即

$$\sum _{i=1}^{20}{Z}_i\text{ 近似 }N\left(20\times 0.5,20\times 0.13\right)=N\left(10,2.6\right),$$

所以概率为

$$P\left\{\sum _{i=1}^{20}{Z}_i\le 8\right\}\approx \Phi \left(\frac{8-10}{\sqrt{2.6}}\right)=\Phi \left(-1.24\right)=0.1075.$$

1.36

某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种血液病的治愈率为 0.8,医院任意抽查 100 个服用此药品的病人,若其中多于 75 人治愈,就接受此断言,否则就拒绝此断言.

(1)若实际上此药品对该病治愈率是 0.8,求接受此断言的概率；

(2)若实际上此药品对该病治愈率是 0.7,求接受此断言的概率。

解

设 100 人中的治愈人数为 $X$,则 $X\sim B\left(100,p\right)$.

(1) $p=0.8$,即 $X\sim B\left(100,0.8\right)$.

由中心极限定理, $X$ 近似服从 $N\left(80,4^2\right)$.

则接受药厂断言的概率为

$$P\{X>75\}=1-P\{X\le 75\}\approx 1-\Phi \left(\frac{75-80}{4}\right)$$ $$=1-\Phi \left(-\frac{5}{4}\right)=\Phi \left(1.25\right)=0.8944.$$

(2) $p=0.7$,即 $X\sim B\left(100,0.7\right)$.

由中心极限定理, $X$ 近似服从 $N\left(70,21\right)$.

则接受药厂断言的概率为

$$P\{X>75\}=1-P\{X\le 75\}\approx 1-\Phi \left(\frac{75-70}{\sqrt{21}}\right)$$ $$=1-\Phi \left(1.09\right)=1-0.8621=0.1379\text{.}$$