题型 3 估计量的相合性(一致性)问题

方法与技巧

相合性的证明一般有两种方法:

方法一 利用定义证明, 往往需要结合大数定律;

方法二 利用定理证明, 结论如下:

设 ${\hat{\theta }}_n$ 是 $\theta$ 的一个估计量, 若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }E\left({\hat{\theta }}_n\right)=\theta ,\underset{n\to \infty }{\lim }D\left({\hat{\theta }}_n\right)=0,$$

则 ${\hat{\theta }}_n$ 是 $\theta$ 的相合估计.

2.9

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是取自正态总体 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 的样本, 证明 $S^2$ 是 ${\sigma }^2$ 的一致估计.

证法一

由大数定律

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu \right|<\epsilon \right\}=1,$$

所以 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的一致估计.

同理, 因 $X_1^2,X_2^2,\cdots ,X_n^2$ 也独立同分布, 故 $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 是 $E\left(X^2\right)$ 的一致估计.

而

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2=\frac{n}{n-1}\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\bar{X}}^2\right),$$

故当 $n\to \infty$ 时,

• $\frac{n}{n-1}\to 1$,
• $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\stackrel{P}{\to }E\left(X^2\right)$,
• ${\bar{X}}^2\stackrel{P}{\to }{\mu }^2,$

即 $S^2\stackrel{P}{\to }E\left(X^2\right)-{\mu }^2={\sigma }^2.$ 则 $S^2$ 是 ${\sigma }^2$ 的一致估计.

证法二

因为 $E\left(S^2\right)={\sigma }^2,$ $D\left(S^2\right)=\frac{2{\sigma }^4}{n-1}$故 $\underset{n\to \infty }{\lim }E\left(S^2\right)={\sigma }^2,$ $\underset{n\to \infty }{\lim }D\left(S^2\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2{\sigma }^4}{n-1}=0,$ 由定理可知, $S^2$ 是 ${\sigma }^2$ 的一致估计.