统计量的相合性

另外一种评价估计量的想法是当样本容量较大时, 考查估计量与待估计参数的差距, 也就是统计量的相合性.

定义 7.2.3 (相合估计量)

设

• 总体 $X\sim F_X\left(\cdot ,\theta \right),\theta \in \Theta$.
• $T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为 $g\left(\theta \right)$ 的估计量,

如果对任意 $\epsilon >0$ 有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\left|T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)-g\left(\theta \right)\right|\ge \epsilon \right)=0,\forall \theta \in \Theta .\text{\hspace{1em}(7.2.3)}$$

则称 $T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为 $g\left(\theta \right)$ 的相合估计量.

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显然, 若总体 $X$ 存在 $k$ 阶矩, 则由5.1 大数定律和相合性的定义知,

样本 $k$ 阶原点矩 $\overline{X^k}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}^k$ 是总体 $k$ 阶原点矩 $E\left[X^k\right]$ 的相合估计量, 进而大多矩法估计量都是相合估计量.

• 统计量的相合性 (Consistency of Estimators)
• 2.9