例 1.2.1 (从袋中抽取球的事件概率)

袋中有 3 只白球 2 只红球, 现从袋中任取两只球, 试求以下各事件的概率.

1. $A$ = { 取得的两只球都是白球 }.
2. $B$ = { 取得的两只球都是红球 }.
3. $C$ = { 取得的球 1 只为白球 1 只为红球 }.

解

因为是 “任取” 两球, 所以取到 5 球中的任意两只球的可能性相同. 设想将 5 只球从 1 到 5 编号, 那么, 从中取出两只球共有 $\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)$ 种不同的结果, 所以 $n=\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)=\frac{5\times 4}{2!}=10.$

1

由于袋中有 3 只白球, 取出的两只白球必然在此 3 只球中抽取. 所以 $n_A=\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)=\frac{3\times 2}{2!}=3$, 于是

$$P\left(A\right)=\frac{3}{10}=0.3$$

2

由于袋中有两只红球,取出的两只红球就只能是这两只红球, 所以 $n_B=$ 1, 于是

$$P\left(B\right)=\frac{1}{10}=0.1.$$

3

由于袋中有 3 只白球两只红球, 取出的 1 只白球应在 3 只白球中抽取, 1 只红球应在两只红球中抽取. 所以, 1 只白球的取法有 3 种, 对白球的每种取法. 红球的取法有两种, 所以 $n_C=\left(\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}\right)=3\times 2=6$, 于是

$$P\left(C\right)=\frac{6}{10}=0.6$$

Remark

这里及以后用专门的记号 $\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)$ 代替记号 ${\mathrm{C}}_n^m=\frac{n!}{m!\left(n-m\right)!}$