例 1.2.3 (约会问题)

两人相约在 7 点到 8 点间在某地会面, 先到者等候另一人 20 分钟, 过时即离去. 试求这两人能会面的概率.

解

依题意,两人都在 7 点到 8 点间的任意时刻到达,亦即在 $\left[0,60\right]$ 的任意点到达,设 $x$ 和 $y$ 分别为两人到达的时刻, 则两人到达的时刻为二维区域 $\left[0,60\right]\times \left[0,60\right]$ 内的所有点, 而两人能会面当且仅当

$$\left|x-y\right|\le 20$$

即能会面的到达时刻点 $(x,y)$ 所形成区域的面积为, 边长为 60 的正方形面积, 减去 2 个直角边长为 40 的直角三角形面积, 所以

$$P\{\text{ 两人能会面 }\}=\frac{{60}^2-{40}^2}{{60}^2}=\frac{5}{9}.$$