例 1.2.6 (抽取灯泡)

一个箱子中装有 36 只灯泡, 其中

• 32 只为一等品,
• 4 只为二等品,

现从中任取 3 只, 试求取出的 3 只灯泡中至少有 1 只为二等品的概率.

解

记

• $A=\{$ 取出的 3 只灯泡中至少有 1 只为二等品 $\}$,
• $B_i=\{$ 取出的 3 只灯泡中恰有 $i$ 只为二等品 $\}\left(i=1,2,3\right)$,

则

• $B_1,B_2,B_3$ 互不相容,
• $A=B_1\cup B_2\cup$ $B_3$. 于是

$$P\left(A\right)=P\left(B_1\right)+P\left(B_2\right)+P\left(B_3\right).$$

而

• $P\left(B_1\right)=\frac{\left(\begin{array}{l}4\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}32\\ 2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}36\\ 3\end{array}\right)}=0.2779$
• $P\left(B_2\right)=\frac{\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}32\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}36\\ 3\end{array}\right)}=0.0269$
• $P\left(B_3\right)=\frac{\left(\begin{array}{l}4\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}36\\ 3\end{array}\right)}=0.0006$ 所以

$$P\left(A\right)=0.2779+0.0269+0.0006=0.3054.$$