概率的性质

由 定义 1.2.5 (概率测度), 我们可以得到概率测度的一些常用的性质.

定理 1.2.1 (概率的性质)

设 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 为概率空间,则对 $\mathcal{F}$ 中的事件,有

1. $P\left(\varnothing \right)=0$.
2. 有限可加性 若 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 两两互不相容, 则 $P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P\left(A_i\right).$
3. $P\left(\bar{A}\right)=1-P\left(A\right)$.
4. 单调性和可减性 若 $A\subset B$, 则有 $P\left(A\right)\le P\left(B\right),$ 且 $P\left(B\setminus A\right)=P\left(B\right)-P\left(A\right).$
5. 加法公式 $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right).$
6. 上 (下) 连续性
7. 下连续性 若 $A_1\subset A_2\subset \cdots \subset A_n\subset \cdots$, 则 $P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(A_n\right)$
8. 上连续性 若 $A_1\supset A_2\supset \cdots \supset A_n\supset \cdots$,则 $P\left(\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(A_n\right)$

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• 例 1.2.6 (抽取灯泡)
• 3.1
• 3.3