例 1.3.1 (晶体管)

盒子中装有 10 只晶体管, 4 只坏的 6 只好的. 现从盒中任取两次, 一次取出一只, 第一次取出的不放回.

1. 若已经发现第一次取出的是好的, 试求第二只也是好晶体管的概率.
2. 试求两次取出的都是好晶体管的概率.

解

记 $A_i=\{$ 第 $i$ 次取出的是好的 $\}$, $i=1,2$.

1

方法 1

将 10 只晶体管从 1 到 10 编号, 按古典概型及 (1.3.1) 计算.

由于是任意地, 无放回地抽取, 试验有 $10\times 9$ 种不同结果, 各结果发生的可能性相同. 而第一次取出的是好晶体管的结果有 $6\times 9$ 种, 两次取出的都是好晶体管的结果有 $6\times 5$ 种, 所以

$$P\left(A_2\mid A_1\right)=\frac{P\left(A_2{A}_1\right)}{P\left(A_1\right)}=\frac{\frac{6\times 5}{10\times 9}}{\frac{6\times 9}{10\times 9}}=\frac{5}{9}.$$

方法 2

第一次取出的是好的, 第二次抽取时, 盒中共有 9 只晶体管 5 只好的 4 只坏的, 从中任取一只是好的概率为 $\frac{5}{9}$, 亦即

$$P\left(A_2\mid A_1\right)=\frac{5}{9}.$$

2

方法 1

将 10 只晶体管从 1 到 10 编号, 按古典概型及 (1.3.1) 计算

由于是任意地, 无放回地抽取, 试验有 $10\times 9$ 种不同结果, 各结果发生的可能性相同. 而两次取出的都是好晶体管的结果有 $6\times 5$ 种结果, 所以

$$P\left(A_1{A}_2\right)=\frac{6\times 5}{10\times 9}=\frac{1}{3}.$$

方法 2

按 (1.3.2) 计算,

$$P\left(A_1{A}_2\right)=P\left(A_1\right)P\left(A_2\mid A_1\right)=\frac{6}{10}\cdot \frac{5}{9}=\frac{1}{3}.$$