例 1.3.2 (扑克牌中抽取扑克)

在一副扑克牌中无放回地任取 4 张扑克, 试求以下事件的概率

1. 取出的扑克依次为黑桃, 红桃, 梅花和方块.
2. 取出的扑克各花色恰有一个.
3. 取出的扑克全是黑桃.

解

1

由于试验是无放回抽取, 每抽取一次后扑克少 1 张, 但取走某花色的 1 张扑克后, 其他花色的扑克仍有 13 张, 所以依 (1.3.3) 有 $P\left(\text{取出的扑克依次为黑桃, 红桃, 梅花和方块}\right)=\frac{13}{54}\cdot \frac{13}{53}\cdot \frac{13}{52}\cdot \frac{13}{51}.$

2

各花色的排列方式有 $4!$ 种, 所以由概率的可加性有

$$P\left(\text{ 取出的扑克各花色恰有一个 }\right)=4!\times \frac{13}{54}\cdot \frac{13}{53}\cdot \frac{13}{52}\cdot \frac{13}{51}.$$

3

从 13 张黑桃中依次取出 4 张, 从第一次到第四次抽取, 分别有 13, 12, 11, 10 种不同取法, 而对于每种取法, 所以依 (1.3.3) 有

$$P\left(\text{ 取出的扑克全是黑桃 }\right)=\frac{13}{54}\cdot \frac{12}{53}\cdot \frac{11}{52}\cdot \frac{10}{51}.$$

注

当然, 例 1.3.2 也可以用古典概型求解, 请读者具体计算一下, 以体会乘法公式的用处.