例 1.3.6 (系统的可靠性)

电器元件构成如图 1.2 和图 1.3 的两个系统 I 和 II. 假设每个元件能够正常工作的概率 (即元件的可靠性) 为 $p$, 各元件是否正常工作相互独立. 试比较两个系统的可靠性 (系统正常工作的概率).

图 1.2 系统 I 示意图

图 1.3 系统 II 示意图

解

系统 I

系统 I 正常工作当且仅当元件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 同时正常工作 (记为 $C_1$ ), 或 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 同时正常工作 (记为 $C_2$ ). 因各元件是否正常工作相互独立, 有

$$P\left(C_1\right)=p^n,P\left(C_2\right)=p^n,$$

从而

$$\begin{array}{rl}{R}_1& =P\left(\text{系统 I 正常工作}\right)\\ & =P\left(C_1\cup C_2\right)\\ & =P\left(C_1\right)+P\left(C_2\right)-P\left(C_1{C}_2\right)\\ & =p^n\left(2-p^n\right).\end{array}$$

系统 II

系统 II 正常工作当且仅当 $A_1$ 和 $B_1$, $A_2$ 和 $B_2$, $\cdots$, $A_n$ 和 $B_n$ 等并联组同时正常工作. 而并联组 $A_i$ 和 $B_i$ 正常工作的概率为 , $i=1,2,\cdots ,n$

$$\begin{array}{rl}P\left(\text{并联组 }{A}_i\text{ 和 }{B}_i\text{ 正常工作}\right)& =p+p-p^2\\ & =p\left(2-p\right).\end{array}$$

所以

$$R_2=P\left(\text{系统 II 正常工作}\right)=p^n{\left(2-p\right)}^n\text{.}$$

用数学归纳法不难证明, 当 $n\ge 2$ 时, ${\left(2-p\right)}^n>2-p^n$, 可见系统 II 比系统 I 可靠性高.