分配率的证明

事实上, 若 $\left(A\cup B\right)\cap C$ 发生,则 $C$ 发生且 $A$ 和 $B$ 至少发生一个. 若 $A$ 发生,则 $A\cap C$ 发生. 若 $B$ 发生,则 $B\cap C$ 发生. 于是有 $\left(A\cup B\right)\cap C\subset \left(A\cap C\right)\cup \left(B\cap C\right).$

反过来, 若 $\left(A\cap C\right)\cup \left(B\cap C\right)$ 发生, 则 $A\cap C$ 和 $B\cap C$ 至少发生一个. 若 $A\cap C$ 发生,则 $A$ 和 $C$ 都发生, 从而 $\left(A\cup B\right)\cap C$ 发生. 若 $\left(B\cap C\right)$ 发生,则 $B$ 和 $C$ 都发生, 从而 $\left(A\cup B\right)\cap C$ 发生. 于是又有 $\left(A\cup B\right)\cap C\supset \left(A\cap C\right)\cup \left(B\cap C\right).$ 这说明 (1.1.4) 成立.