前面我们定义了事件的积 (交)、和 (并)、差及对立等运算, 与算术运算和极限运算等类似, 为分析计算较为复杂事件的概率, 我们还需熟悉事件运算的法则. 这些运算法则, 读者在 例 1.1.6 (三个事件的表达) 和 例 1.1.7 (飞碟射击) 中已经有所体会了.
首先, 对于积 (交), 和 (并) 运算有
结合律
由于 和 都表示 至少发生一个, 所以 ( {A \cup B}) \cup C = A \cup ( {B \cup C}). \tag{1.1.1} 而 和 都表示 都发生, 所以 \left( {A \cap B}\right) \cap C = A \cap \left( {B \cap C}\right). \tag{1.1.2}
交换律
A \cup B = B \cup A, A \cap B = B \cap A. \tag{1.1.3}
分配律
\left( {A \cup B}\right) \cap C = \left( {A \cap C}\right) \cup \left( {B \cap C}\right). \tag{1.1.4} 分配率的证明
另外, 读者还可以自己仿照以上说明, 得到 \left( {A \cap B}\right) \cup C = \left( {A \cup C}\right) \cap \left( {B \cup C}\right). \tag{1.1.5}
对偶律
对于积 (交)、和 (并) 及对立运算还有对偶律： 因为 表示 “不是 和 至少发生一个”, 亦即 和 都不发生, 所以有 \overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \tag{1.1.6}同理, 可以说明 \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \tag{1.1.7}
Remark
事件的运算也可以通过 Venn diagram 来理解。