定理 1.2.1 (概率的性质)

定理 1.2.1 (概率的性质)

设 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 为概率空间,则对 $\mathcal{F}$ 中的事件,有

1. $P\left(\varnothing \right)=0$.
2. 有限可加性 若 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 两两互不相容, 则 $P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P\left(A_i\right).$
3. $P\left(\bar{A}\right)=1-P\left(A\right)$.
4. 单调性和可减性 若 $A\subset B$, 则有 $P\left(A\right)\le P\left(B\right),$ 且 $P\left(B\setminus A\right)=P\left(B\right)-P\left(A\right).$
5. 加法公式 $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right).$
6. 上 (下) 连续性
7. 下连续性 若 $A_1\subset A_2\subset \cdots \subset A_n\subset \cdots$, 则 $P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(A_n\right)$
8. 上连续性 若 $A_1\supset A_2\supset \cdots \supset A_n\supset \cdots$,则 $P\left(\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(A_n\right)$

证明

1. 空集的概率

由于

$$\varnothing =\varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \cup \varnothing \cdots ,$$

从而,由概率 $P$ 的可列可加性,有

$$P\left(\varnothing \right)=P\left(\varnothing \right)+P\left(\varnothing \right)+\cdots +P\left(\varnothing \right)\cdots ,$$

这说明 $P\left(\varnothing \right)=0$.

2. 有限可加性

由于

$$\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\bigcup _{i=1}^n{A}_i\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \cup \varnothing \cdots ,$$

从而, 由概率 $P$ 的可列可加性, 有

$$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P\left(A_i\right)+P\left(\varnothing \right)+\cdots +P\left(\varnothing \right)\cdots ,$$

但 $P\left(\varnothing \right)=0$,所以 (2) 成立.

3. 补集的概率

由于 $A\cup \bar{A}=\Omega$, 且 $A$ 与 $\bar{A}$ 互不相容, 所以由 (2) 的结论有

$$1=P\left(\Omega \right)=P\left(A\right)+P\left(\bar{A}\right).$$

而 $P\left(A\right)$ 和 $P\left(\bar{A}\right)$ 都为有限数,所以 $P\left(\bar{A}\right)=1-P\left(A\right)$.

4. 单调性和可减性

由于 $B=A\cup \left(B\setminus A\right)$, 且 $A$ 与 $B\setminus A$ 互不相容, 所以由 (2) 的结论有

$$P\left(B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\setminus A\right).$$

由定义 1.2.5 中的 (1) 即知 (4) 成立.

5. 加法公式

由于 $A\cup B=A\cup \left(B\bar{A}\right)$, 而 $B=BA\cup B\bar{A}$, 从而由 $P\left(A\cup B\right)=$ $P\left(A\right)+P\left(B\bar{A}\right)$ 和 $P\left(B\right)=P\left(BA\right)+P\left(B\bar{A}\right)$ 知 (5) 成立.

6. 上(下)连续性

这里只证下连续性 (上连续性留给读者证明). 由于 $A_1\subset A_2\subset \cdots \subset$ $A_n\subset \cdots$ 有 $A_1,\left(A_2\setminus A_1\right),\left(A_3\setminus A_2\right),\cdots ,\left(A_n\setminus A_{n-1}\right),\cdots$ 等事件互不相容, 且

$$\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i=A_1\cup \left(A_2\setminus A_1\right)\cup \left(A_3\setminus A_2\right)\cup \cdots \cup \left(A_n\setminus A_{n-1}\right)\cup \cdots ,$$

从而, 由概率的可列可加性有