定理 1.3.2 (全概率公式)

定理 1.3.2 (全概率公式)

设 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 为概率空间,

• $B_i\in \mathcal{F},P\left(B_i\right)>0,i=1,2,\cdots$,
• $B_i\cap B_j=\varnothing ,i\ne j$,
• $A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }{B}_i$,

则

$$P\left(A\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P\left(B_i\right)P\left(A\mid B_i\right).\text{\hspace{1em}(1.3.5)}$$

证明

由 $A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }{B}_i$, 知 $A=A\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{B}_i\right)$. 所以, 由 $B_1,B_2,\cdots$ 互不相容和概率的可列可加性有

$$\begin{array}{rl}P(A)& =P\left(A\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{B}_i\right)\right)\\ & =P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A{B}_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }P\left(A{B}_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }P\left(B_i\right)P\left(A\mid B_i\right).\end{array}$$