定理 1.3.3 (贝叶斯公式)

定理 1.3.3 (贝叶斯公式)

在 定理 1.3.2 (全概率公式) 的条件下, 若 $P\left(A\right)>0$, 则

$$P\left(B_j\mid A\right)=\frac{P\left(B_j\right)P\left(A\mid B_j\right)}{\sum _{i=1}^{\infty }P\left(B_i\right)P\left(A\mid B_i\right)}.\text{\hspace{1em}(1.3.6)}$$

证明

由条件概率的定义和全概率公式, 即得

$$P\left(B_j\mid A\right)=\frac{P\left(A{B}_j\right)}{P\left(A\right)}=\frac{P\left(B_j\right)P\left(A\mid B_j\right)}{\sum _{i=1}^{\infty }P\left(B_i\right)P\left(A\mid B_i\right)}.$$