例 2.2.5 (合作问题)

设有同类设备 80 台, 各台是否正常工作相互独立. 每口及生故障的概率为 0.01, 并且一台设备出现故障时需安排一人来维修 试求

1. 一人负责维修 20 台设备时, 设备发生故障无人维修的概率
2. 由二人共同负责维修 80 台设备时, 设备发生故障无人维修的概率.

解

1

一人负责维修 20 台设备时, 设 $X$ 为同一时刻发生故障的设备数, 则有题意可得 $X\sim B\left(20,0.01\right)$. 由于一人在同一时刻只能维修一台设备, 所以发生取得无人维修, 当且仅当同一时刻至少有 2 台设备出现故障. 所以, 所求概率为

$$\begin{array}{rl}P(X\ge 2)& =1-P(X\le 1)\\ & =1-\mathrm{pbinom}(1,20,0.01)\\ & =\mathrm{0.01685934.}\end{array}$$

若用泊松分布近似, $\lambda =0.2$, 有 $P\left(X\ge 2\right)=1-P\left(X\le 1\right)=1-\mathrm{ppois}\left(1,0.2\right)=0.0175231$

2

由三人共同负责维修 80 台设备时, 设 $Y$ 为同一时刻发生故障的设备数, 则由题意知 $Y\sim B\left(80,0.01\right)$. 由于一人在同一时刻只能维修一台设备, 所以及生故障无人维修, 当且仅当同一时刻至少有 4 台设备出现故障. 所以, 所求概率为

$$\begin{array}{rl}P(Y\ge 4)& =1-P(X\le 3)\\ & =1-\mathrm{pbinom}(3,80,0.01)\\ & =\mathrm{0.008659189.}\end{array}$$

若用泊松分布近似, $\lambda =0.8$, 有 $P\left(Y\ge 4\right)=1-P\left(Y\le 3\right)=1-\mathrm{ppois}\left(3,0.8\right)=0.009079858$

可见, 三个人共同负责维修 80 台设备 (即平均每人负责约 27 台设备), 比一个人单独负责维修 20 台更有保障, 既节约了人力又提高了设备保障率.

启示

本题揭示了合作对于团体容错能力的重要性。 比较下列分工方案

1. 4人，每人负责20台，
2. 3人一起负责80台