例 2.3.1 (分布密度函数的求解)

设随机变量 $X$ 的分布密度函数为

$$f_X\left(x\right)=\frac{a}{1+x^2},x\in \left(-\infty ,\infty \right).$$

1. 试确定 $a$ 的值.
2. 试求 $X$ 的分布函数.
3. 试求 $P\left(X^2\le 1\right)$.

解

1

根据 (2.3.2), 首先 $a>0$, 另外

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)dx& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{a}{1+x^2}dx\\ & ={a\arctan (x)|}_{-\infty }^{\infty }\\ & =a\cdot \pi \\ & =1.\end{array}$$

故有 $a=\frac{1}{\pi }$.

2

由 (2.3.1) 有

$$\begin{array}{rl}{F}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^x{f}_X(t)dt=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^x\frac{1}{1+t^2}dt\\ & =\frac{1}{\pi }\left(\arctan (x)+\frac{\pi }{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan (x).\end{array}$$

3

由于 $\left(X^2\le 1\right)=\left(-1\le X\le 1\right)$, 所以

$$\begin{array}{rl}P(X^2\le 1)& =P(-1\le X\le 1)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-1}^1\frac{1}{1+t^2}dt\\ & =\frac{1}{\pi }\left(\arctan (1)-\arctan (-1)\right)\\ & =\frac{1}{2}.\end{array}$$