例 2.3.2 (顾客不满意评价)

某窗口接待一位顾客的服务时间 $T$ 服从参数为 $\frac{1}{10}$ 的指数分布, 即

$$f_T\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{10}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{10}x},& \text{ 当 }x>0,\\ 0,& \text{ 当 }x\le 0.\end{array}$$

假设一次服务时间超过 15 分钟, 顾客即评价为 “不满意”. 试求

1. 10 位顾客中恰有两位评价为不满意的概率.
2. 10 位顾客中最多有两位评价为不满意的概率.
3. 10 位顾客中至少有两位评价为不满意的概率.

解

先求出一位顾客评价为 “不满意” 的概率. 我们有

$$P\left(T>15\right)={\int }_{15}^{\infty }\frac{1}{10}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{10}x}\mathrm{d}x={\left(-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{10}x}\right)|}_{15}^{\infty }={\mathrm{e}}^{-\frac{3}{2}}\approx 0.2231.$$

若调用 $\mathrm{R}$ 软件中的内部函数 $\exp$ 有

$$P\left(T>15\right)=1-P\left(T\le 15\right)=1-\mathrm{pexp}\left(15,0.1\right)\approx 0.2231302.$$

由题设每位顾客的服务时间同服从参数为 $\frac{1}{10}$ 的指数分布, 且各位顾客的服务时间相互独立, 所以 10 位顾客中评价为不满意的顾客数 $Y\sim B(10,P(T>$ 15)), 从而

1

$P\left(10\text{位顾客中恰有 2 位评价为不满意}\right)$

$$=P\left(Y=2\right)$$ $$=\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)P{\left(T>15\right)}^{2}P{\left(T\le 15\right)}^8$$ $$=\mathrm{dbinom}\left(2,10,0.2231302\right)$$ $$=0.2972454\text{.}$$

2

$P(10$ 位顾客中最多有 2 位评价为不满意的概率.)

$$=P\left(Y\le 2\right)$$ $$=\sum _{k=0}^2\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)P{\left(T>15\right)}^{k}P{\left(T\le 15\right)}^{10-k}$$ $$=\mathrm{pbinom}\left(2,10,0.2231302\right)$$ $$=0.607299\text{.}$$

3

$P(10$ 位顾客中至少有 2 位评价为不满意的概率.)

$$=P\left(Y\ge 2\right)$$ $$=1-P\left(Y=0\right)-P\left(Y=1\right)$$ $$=1-\mathrm{pbinom}\left(1,10,0.2231302\right)$$ $$=0.6899464\text{.}$$