2.3.2 指数分布

定义 (指数分布)

若连续型随机变量 $X$ 的分布密度函数为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& \text{ 当 }x>0,\\ 0,& \text{ 当 }x\le 0,\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3.7)}$$

则称 $X$ 服从指数分布, 参数为 $\lambda \left(\lambda >0\right)$, 记作 $X\sim \mathrm{Exp}\left(\lambda \right)$, $\mathrm{R}$ 软件中的分布名为 $\exp$, 其分布函数为

$$F_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& \text{ 当 }x>0,\\ 0,& \text{ 当 }x\le 0.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3.8)}$$Link to original

在解决实际问题时, 一般认为 “稀有事件” (在有限时间内只发生有限多次, 在极短时间内至多发生一次) 发生的事件间隔服从指数分布, 另外, 电器元件的寿命也近似地认为服从指数分布.

• python 绘制指数分布
• 例 2.3.2 (顾客不满意评价)
• 毕导: 公交车悖论

无记忆性

指数分布有一个雷同于几何分布的独特的性质, 就是它的无记忆性, 即若 $X\sim \mathrm{Exp}\left(\lambda \right)$, 则对任 $t>0,s>0$ 有

$$P\left(X>t+s\mid X>s\right)=P\left(X>t\right).\text{\hspace{1em}(2.3.9)}$$

事实上, 由条件概率的定义和 (2.3.8) 有

$$\begin{array}{rl}& P(X>t+s\mid X>s)\\ & =\frac{P(X>t+s,X>s)}{P(X>s)}\\ & =\frac{P(X>t+s)}{P(X>s)}\\ & =\frac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda s}}\\ & =e^{-\lambda t}\\ & =P(X>t).\end{array}$$

这说明 (2.3.9) 成立. 还可以证明, 指数分布是连续型随机变量中唯一的具有无记忆性的概率分布.

Question

机械零件损坏服从指数分布?

vs 几何分布？

指数分布 vs 几何分布