例 2.3.5 (车门设计)

公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在 0.01 以下来设计的. 现设男子身高 $X$ 服从参数 $\mu =170\left(\mathrm{cm}\right)$ 和 $\sigma =6\left(\mathrm{cm}\right)$ 的正态分布, 即 $X\sim N\left(170,6^2\right)$. 试确定车门的高度.

解

设车门的高度为 $h$, 由题意应有

$$P\left(X>h\right)<0.01$$

亦即

$$P\left(X\le h\right)>0.99$$

由于 $X\sim N\left(170,6^2\right)$, 所以

$$P\left(X\le h\right)=\Phi \left(\frac{h-170}{6}\right)>0.99.$$

利用 $\mathrm{R}$ 软件的 $\mathrm{qnorm}\left(p\right)$ 函数 (这里的 $\mathrm{q}$ 是英文 quantile 的第一个字母, 代表分位致, 即 $P\left(X\le \text{quantile}\right)=p$ ), 由 qnorm $\left(0.99\right)=2.326348$ 知, $\Phi \left(2.326348\right)=0.99$, 即

$$\frac{h-170}{6}\ge 2.326348$$ $$h\ge 170+6\times 2.326348=183.9581.$$

当车门的高度设计为 $184\mathrm{cm}$ 时, 可使男子与车门顶碰头的机会在 $0.01$ 以下.