2.3.3 正态分布

正态分布是最常见的、在理论分析和实际应用中都十分重要的分布.

定义 (正态分布)

若连续型随机变量 $X$ 的分布密度函数为

$$f_X\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<\infty ,$$

其中参数为

• $\mu \left(-\infty <\mu <\infty \right)$
• $\sigma \left(\sigma >0\right)$,

正态分布记为 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, $\mathrm{R}$ 软件中的分布名为 norm. 特别地, 若 $X\sim N\left(0,1\right)$, 则称 $X$ 服从标准正态分布.

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正态分布的密度函数如图 2.1 所示,

• 关于 $x=\mu$ 对称,
• $\sigma$ 越小则曲线越陡峭, $\sigma$ 越大则曲线越平缓. 我们将在 4.1.1 节中说明 $\mu$ 和 $\sigma$ 的概率意义.

图 2.1 (正态分布密度函数图)

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对于标准正态分布 $N\left(0,1\right)$, 分布密度函数通常记为 $\varphi$, 即

$$\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}},-\infty <x<\infty ,\text{\hspace{1em}(2.3.10)}$$

分布函数通常记为 $\Phi$, 即

$$\Phi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t,-\infty <x<\infty ,\text{\hspace{1em}(2.3.11)}$$

由于 (2.3.11) 右端被积函数为偶函数, 所以

$$\Phi \left(-x\right)=1-\Phi \left(x\right).\text{\hspace{1em}(2.3.12)}$$

大家知道, $\int {\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$ 的原函数没有显式表达式, (2.3.11) 右端的积分都经数值计算制成表以供查阅, 现今如用 $\mathrm{R}$ 软件, 用命令 pnorm(x) 即得. python 绘制正态分布

标准化

设 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, 则 $X$ 的统计特性, 都可用标准正态分布函数来表达, 即

$$P\left(a<X<b\right)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right).\text{\hspace{1em}(2.3.13)}$$

事实上, 对任意 $a<b$, 有

$$\begin{array}{rl}& P(a<X<b)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_a^b{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_a^b{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}d\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{\frac{a-\mu }{\sigma }}^{\frac{b-\mu }{\sigma }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\\ & =\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right).\end{array}$$

我们将这个重要的事实总结为如下命题.

命题 2.3.1 (正态分布的标准化变换)

设 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, 令 $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }$, 则 $Y\sim N\left(0,1\right)$.

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下节末我们还将证明这一事实.

例 2.3.3 (正态分布的概率计算)

对于 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, 由 (2.3.13) 有

$$P\left(\left|X-\mu \right|\le \sigma y\right)=P\left(\frac{\left|X-\mu \right|}{\sigma }\le y\right)=2\Phi \left(y\right)-1,\forall y>0.\text{\hspace{1em}(2.3.14)}$$

调用 $\mathrm{R}$ 软件的 pnorm 函数, 我们有

$$\begin{array}{rl}P\left(|X-\mu |\le 1\sigma \right)& =2\times \text{pnorm}(1)-1\\ & =0.6826895,\\ P\left(|X-\mu |\le 2\sigma \right)& =2\times \text{pnorm}(2)-1\\ & =0.9544997,\\ P\left(|X-\mu |\le 3\sigma \right)& =2\times \text{pnorm}(3)-1\\ & =\mathrm{0.9973002.}\end{array}$$

应用

在实际问题中, 有许多随机变量可以认为服从或近似服从正态分布, 例如测量误差, 各种产品的数量指标 (零件的尺寸、材料的强度等), 同一群体的某种特征 (某种动物的身长、体重, 某种植物的株高, 单位面积产量等)等. 从理论上讲, 若 $X$ 是某随机试验结果的数量指标, 如果试验结果受大量的、微不足道的、相互独立的随机因素的共同影响, 并且这些因素的影响效果 “均匀地小”, 则可以证明 $X$ 近似服从正态分布 (参见 5.2 中心极限定理).

• 例 2.3.4 (重复测量中误差超限次数)
• 例 2.3.5 (车门设计)
• 例 2.3.6 (股价变化幅度的估计)
• 3.15
• 高考标准分与正态分布