例 2.3.6 (股价变化幅度的估计)

设某只股票的初始价格为 $S_0=40$ 元, 预期收益率 $\mu$ 为每年 16%, 波动率 $\sigma$ 为每年 20%. 在 Black-Scholes 模型下 (Black 利 Scholes 为 1997 年诺贝尔经济学奖得主), 股票在每个时刻 $t$ 的价格 $S_t$ 为随机变量, 且

$$S_t=S_0\exp \left(\left(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\right)t+\sigma B_t\right),$$

其中 $B_t\sim N\left(0,t\right)$. 试估计六个月后这只股票的价格范围 (允许出错的概率为 5%)

解

六个月即 $t=0.5$ 年, 所以由题设有

$$\begin{array}{rl}\ln \left(S_{0.5}\right)& =\ln (40)+\left(\left(0.16-\frac{0.2^2}{2}\right)\times 0.5+0.2B_t\right)\\ & \sim N(3.758879,0.02).\end{array}$$

这里 $0.2B_t\sim N(0,0.2^{2}t)=N(0,0.2^2\times 0.5)$. 亦即 (参见 (2.3.13))

$$\frac{\ln \left(S_{0.5}\right)-3.758879}{0.1414214}\sim N\left(0,1\right).$$

因为当 $X\sim N\left(0,1\right)$ 时, $P\left(\left|X\right|\le y\right)=2\Phi \left(y\right)-1$. 若允许出错的概率为 $5\%$, 即令 $2\Phi \left(y\right)-1=0.95$, 则有 $\Phi \left(y\right)=0.975$. 从而用 $\mathrm{R}$ 软件的 $\mathrm{qnorm}\left(0.975\right)$ 得 $y=1.96$. 于是

$$P\left(\left|\frac{\ln \left(S_{0.5}\right)-3.758879}{0.1414214}\right|\le 1.96\right)=0.95,$$

即

$$\begin{array}{rl}P(3.758879-1.96\times 0.1414214& \le \ln \left(S_{0.5}\right)\le 3.758879+1.96\times 0.1414214)\\ & =\mathrm{0.95.}\end{array}$$

亦即

$$\begin{array}{rl}& P(e^{3.758879-1.96\times 0.1414214}\le S_{0.5}\le e^{3.758879+1.96\times 0.1414214})\\ & =P(32.51\le S_{0.5}\le 56.60)=\mathrm{0.95.}\end{array}$$

因此, 在允许出错的概率为 $5\%$ 的前提下, 可以预计六个月后该只股票的价格会在 32.51 和 56.60 之间.