定理 2.2.2 (泊松定理)

定理 2.2.2 (泊松定理)

设随机变量 $X\sim B\left(n,p_n\right),0<p_n<1$ 与 $n$ 有关, 且满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }n{p}_n=\lambda ,$ 则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(X=k\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p_n^k{\left(1-p_n\right)}^{n-k}=\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\cdots .$$

证明

记 ${\lambda }_n=n{p}_n$, 则

$$\begin{array}{rl}b\left(k;n,p_n\right)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p_n^k{\left(1-p_n\right)}^{n-k}\\ & =\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}{\left(\frac{{\lambda }_n}{n}\right)}^k{\left(1-\frac{{\lambda }_n}{n}\right)}^{n-k}\\ & =\frac{{\lambda }_n^k}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right){\left(1-\frac{{\lambda }_n}{n}\right)}^{n-k}.\end{array}$$

由于对固定的 $k$, 有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\lambda }_n^k={\lambda }^k,$

及

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1,$$

因此

$$\underset{n\to \infty }{\lim }b\left(k;n,p_n\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}.$$