指数分布 vs 几何分布

几何分布和指数分布有着密切的联系，主要体现在以下几个方面：

1. 概念相似性：

   1. 几何分布表示经过k次实验才第一次得到某个实验结果，
   2. 指数分布表示经过一段时间x后某件事第一次发生¹²。
   3. 两者都描述了事件首次发生所需的时间或尝试次数。

2. 无记忆性：

   1. 几何分布和指数分布都具有无记忆性，这是它们独有的特性³⁴。
   2. 无记忆性意味着未来事件的发生与过去的情况无关。

3. 极限关系：

   1. 当将几何分布的时间间隔趋向无穷小时，可以得到指数分布²。
   2. 这种极限关系使得指数分布成为连续时间中几何分布的对应物。

4. 分布函数相似性：

   1. 几何分布和指数分布的分布函数图形非常相似¹。
   2. 这种相似性反映了它们在本质上描述了相同类型的随机过程。

5. 对应关系：

   1. 指数分布与泊松分布之间存在对应关系。如果某事件在给定时间内发生次数遵循泊松分布，那么该事件的间隔时间就遵循参数相同的指数分布²⁵。
   2. 几何分布可以看作是离散情况下的指数分布，而指数分布则是连续情况下的几何分布⁶。

6. 应用场景：两种分布都常用于描述等待时间或首次成功所需的尝试次数。例如

   1. 几何分布可用于描述抛硬币得到正面的次数
   2. 指数分布可用于描述公交车到达的时间间隔¹。

总之，几何分布和指数分布在本质上描述了相同类型的随机过程，只是一个适用于离散情况，另一个适用于连续情况。它们共享无记忆性这一重要特性，并且在极限情况下可以相互转化。

Footnotes

1. geometric distribution and exponential distribution（几何分布和指数… ↩ ↩² ↩³

2. 一文搞懂常见概率分布的直觉与联系 ↩ ↩² ↩³

3. 如何理解几何分布与指数分布的无记忆性？ 原创 - CSDN博客 ↩

4. 指数分布和几何分布 - 马同学 ↩

5. 5.3: 指数分布- Global ↩

6. 指数分布、泊松分布、几何分布的联系- 0utsider_ - 简书 ↩