例 2.4.3 (线性变换下随机变量的分布密度函数)

设 $X$ 的分布密度函数为 $f_X$, 试求 $Y=aX+b$ 的分布密度函数, 其中 $a,b$ 为常数, 且 $a\ne 0$.

解

记 $F_Y$ 为 $Y$ 的分布函数, $f_Y$ 为 $Y$ 的分布密度函数.

则当 $a>0$ 时, 有

$$F_Y\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(aX+b\le y\right)=P\left(X\le \frac{y-b}{a}\right)={\int }_{-\infty }^{\frac{y-b}{a}}{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x,$$

从而

$$f_Y\left(y\right)=f\left(\frac{y-b}{a}\right)\times \frac{1}{a}.$$

当 $a<0$ 时, 有

$$F_Y\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(aX+b\le y\right)=P\left(X\ge \frac{y-b}{a}\right)={\int }_{\frac{y-b}{a}}^{\infty }{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x.$$

从而

$$f_Y\left(y\right)=f\left(\frac{y-b}{a}\right)\times \left(-\frac{1}{a}\right).$$

总之

$$f_Y\left(y\right)=\frac{1}{\left|a\right|}f\left(\frac{y-b}{a}\right).\text{\hspace{1em}(2.4.1)}$$