3.1.1 随机向量的定义和联合分布

定义 3.1.1 (随机向量)

设 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 为概率空间, 如果 $X_i$ 为随机变量, $\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$, 则称向量 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为随机向量.

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从定义 3.1.1 可以看出, 随机向量 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 是基本事件空间 $\Omega$ 到 $n$ 维实数空间的一个映射:

$$\Omega \ni \omega \mapsto \left(X_1\left(\omega \right),X_2\left(\omega \right),\cdots ,X_n\left(\omega \right)\right)\in {\mathbb{R}}^n.$$

也可以说, 随机向量是一个取向量值的随机变量, 也称随机向量为多维随机变量.

对于随机向量应如何刻画它的统计特性 (分布规律) 呢? 模仿一维随机变量的情形, 我们定义它的联合分布函数.

定义 3.1.2 (联合分布函数, joint distribution)

设 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 为概率空间, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其上的随机向量, 它的联合分布函数定义为

$$\begin{array}{rl}& F_{X_1,X_2,\cdots ,X_n}\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\\ & =P\left(\omega \in \Omega :X_1(\omega )\le x_1,X_2(\omega )\le x_2,\cdots ,X_n(\omega )\le x_n\right)\\ & =P\left(\omega \in \Omega :\bigcap _{i=1}^n\left\{X_i(\omega )\le x_i\right\}\right),\forall (x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1.1)}$$Link to original

从定义 3.1.2 看出, 分布函数在点 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 处的值是一个事件的概率, 该事件由使得 $\left(X_1\left(\omega \right),X_2\left(\omega \right),\cdots ,X_n\left(\omega \right)\right)$ 落入以 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 为顶点的半无限区域 $\left(-\infty ,x_1\right]\times \left(-\infty ,x_2\right]\times \cdots \times \left(-\infty ,x_n\right]$ 的 $\omega$ 构成. 那么如何用联合分布函数来刻画随机向量的统计特性呢? 下面定理 3.1.1 中 (iv) 的证明给出了答案.

Transclude of 定理-3.1.1-(联合分布函数的性质)#statement

我们称定理 3.1.1 中的性质 1-4 为随机向量分布函数的特征性质, 也就是说, 若有定义于 ${\mathbb{R}}^n$ 上的实函数 $F$ 满足性质 1-4, 则可以构造一个概率空间 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 和其上的随机向量 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$, 使

$$F_{X_1,X_2,\cdots ,X_n}\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=F\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right),\forall \left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in {\mathbb{R}}^n.\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

这个事实称为柯尔莫哥洛夫存在性定理.

由柯尔莫哥洛夫存在性定理及 (3.1.3), 我们看到随机向量 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 的统计特性, 可用其联合分布函数的差分来表示. 也就是说, 随机向量 $(X_1$. $X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合分布函数刻画了随机向量 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 整体的统计特性, 从而每个分量的统计特性也应当由其联合分布函数完全刻画.

事实上, 由于随机变量都是取有限值的, 所以

$$\begin{array}{rl}{F}_{X_1}(x_1)& =P(X_1\le x_1)\\ & =P\left(X_1\le x_1,X_2<\infty ,X_3<\infty ,\cdots ,X_n<\infty \right)\\ & =F_{X_1,X_2,\cdots ,X_n}(x_1,\infty ,\infty ,\cdots ,\infty )\\ & =\underset{\begin{array}{c}{x}_j\to \infty \\ j=2,3,\cdots ,n\end{array}}{\lim }{F}_{X_1,X_2,\cdots ,X_n}(x_1,x_2,\cdots ,x_n).\end{array}$$

这说明由 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 联合分布确定各分量的边缘分布 $F_{X_i}$, $i=1,2,\cdots ,n$. 也可以得到二维边缘分布. 比如,

$$\begin{array}{rl}{F}_{X_1,X_2}(x_1,x_2)& =P(X_1\le x_1,X_2\le x_2)\\ & =P\left(X_1\le x_1,X_2\le x_2,X_3<\infty ,\cdots ,X_n<\infty \right)\\ & =F_{X_1,X_2,\cdots ,X_n}(x_1,x_2,\infty ,\cdots ,\infty )\\ & =\underset{\begin{array}{c}{x}_j\to \infty \\ j=3,4,\cdots ,n\end{array}}{\lim }{F}_{X_1,X_2,\cdots ,X_n}(x_1,x_2,\cdots ,x_n).\end{array}$$

另外, 由 (3.1.1), 显然有

$$F_{X_n,X_{n-1},\cdots ,X_1}\left(x_n,x_{n-1},\cdots ,x_1\right)=F_{X_1,X_2,\cdots ,X_n}\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$$

将以上讨论稍加推广, 容易证明分布函数还具有如下两性质;

5. 对任 $0<k\le n$, 设 $A=\left\{i_1,i_2,\cdots ,i_k\right\}\subset I=\{1,2,\cdots ,n\}$, 则

$$F_{X_{i_1},X_{i_2},\cdots ,X_{i_k}}\left(x_{i_1},x_{i_2},\cdots ,x_{i_k}\right)=\underset{\begin{array}{c}{x}_j\to \infty \\ j\in I\setminus A\end{array}}{\lim }{F}_{X_1,X_2,\cdots ,X_n}\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right).\text{\hspace{1em}(3.1.4)}$$

6. 设 $\left(i_1,i_2,\cdots ,i_n\right)$ 为 $\left(1,2,\cdots ,n\right)$ 的任意置换 (全排列), 则

$$F_{X_{i_1},X_{i_2},\cdots ,X_{i_n}}\left(x_{i_1},x_{i_2},\cdots ,x_{i_n}\right)=F_{X_1,X_2,\cdots ,X_n}\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right).\text{\hspace{1em}(3.1.5)}$$

1.2