题型 1. 关于分布函数、分布律、概率密度的性质

1.1

设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的分布函数为:

$$F\left(x,y\right)=A\left(B+\arctan \frac{x}{2}\right)\left(C+\arctan \frac{y}{3}\right),$$

求 $A,B,C$ 及 $\left(X,Y\right)$ 的联合密度函数.

解

(1) 由联合分布函数的性质知

$$F\left(+\infty ,+\infty \right)=A\left(B+\frac{\pi }{2}\right)\left(C+\frac{\pi }{2}\right)=1,$$ $$F\left(-\infty ,+\infty \right)=A\left(B-\frac{\pi }{2}\right)\left(C+\frac{\pi }{2}\right)=0,$$ $$F\left(+\infty ,-\infty \right)=A\left(B+\frac{\pi }{2}\right)\left(C-\frac{\pi }{2}\right)=0,$$

得 $A=\frac{1}{{\pi }^2},B=\frac{\pi }{2},C=\frac{\pi }{2}$.

(2) $f\left(x,y\right)=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=\frac{6}{{\pi }^2\left(4+x^2\right)\left(9+y^2\right)}$

1.2

设二维连续型随机变量 $\left(X_1,X_2\right)$ 与 $\left(Y_1,Y_2\right)$ 的联合密度分别为 $p\left(x,y\right)$ 和 $g\left(x,y\right)$, 令 $f\left(x,y\right)=ap\left(x,y\right)+bg\left(x,y\right)$. 要使函数 $f\left(x,y\right)$ 是某个二维随机变量的联合密度,则 $a,b$ 应满足( ).

(A) $a+b=1$ (B) $a>0,b>0$ (C) $0\le a\le 1,0\le b\le 1$ (D) $a\ge 0,b\ge 0$,且 $a+b=1$

解

$f\left(x,y\right)$ 为密度函数 $\iff f\left(x,y\right)\ge 0$ 且 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$,

由此可推得, $1=a+b$,且 $ap\left(x,y\right)+bg\left(x,y\right)\ge 0\left(\forall x,y\in \mathbf{R}\right)$.

所以选择(D).

对于 $a\ge 0,b\ge 0$,由 $p\left(x,y\right)\ge 0,g\left(x,y\right)\ge 0$ 得

$$ap\left(x,y\right)+bg\left(x,y\right)\ge 0\left(\forall x,y\in \mathbf{R}\right).$$

如果 $a<0$ (或 $b<0$ ),则对一切 $x,y$ 有

$$bg\left(x,y\right)\ge \left(-a\right)p\left(x,y\right)\text{ 或 }ap\left(x,y\right)\ge \left(-b\right)g\left(x,y\right)$$

此式未必成立.

故应选(D).

1.3

设 $\left(X,Y\right)$ 的分布律为

$YX$	1	2	3
-1	$\frac{1}{3}$	$\frac{a}{6}$	$\frac{1}{4}$
1	0	$\frac{1}{4}$	$a^2$

求 $a$ 的值.

解

由分布律性质知:

$$\frac{1}{3}+\frac{a}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+a^2=1,$$

即

$$6a^2+a-1=0,\left(3a-1\right)\left(2a+1\right)=0,$$

解得 $a=\frac{1}{3}$ 或 $a=-\frac{1}{2}$.

由 $p_{ij}\ge 0$ 可舍去 $a=-\frac{1}{2}$,所以 $a=\frac{1}{3}$.