3.2.2 二维离散型随机向量条件分布列

下面我们简单讨论随机向量的条件分布, 它对讨论非独立随机变量的统计规律及数字特征非常重要.

设 $(X,Y)$ 为二维离散型随机向量, 其联合分布列为

$$P\left(X=a_i,Y=b_j\right)=p_{ij},i,j=1,2,\cdots .$$

已知事件 $\left\{Y=b_j\right\}$ 发生, 在此条件下 $X$ 的分布列称为条件分布列. 用前面的记号, $p_{\cdot j}=P\left(Y=b_j\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{p}_{ij}$, 则由条件概率的定义有

$$P\left(X=a_i\mid Y=b_j\right)=\frac{P\left(X=a_i,Y=b_j\right)}{P\left(Y=b_j\right)}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\cdots .\text{\hspace{1em}(3.2.3)}$$

类似地,在事件 $\left\{X=a_i\right\}$ 发生的条件下 $Y$ 的条件分布列为

$$P\left(Y=b_j\mid X=a_i\right)=\frac{P\left(X=a_i,Y=b_j\right)}{P\left(X=a_i\right)}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }},j=1,2,\cdots ,\text{\hspace{1em}(3.2.4)}$$

其中 $p_{i\cdot }=P\left(X=a_i\right)=\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}$.

• 例 3.2.3 (例 3.2.1 续)

有兴趣的读者, 还可以算一下 例 3.2.2 (三项分布) 中的条件分布列.