例 3.2.2 (三项分布)

设随机试验只有 $A,B$ 和 $C$ 等三个结果. 各结果出现的概率分别为 $p$, $q$ 和 $1-p-q$. 现将该随机试验独立地做 $n$ 次, 记 $X$ 和 $Y$ 分别为 $n$ 次试验中 $A$ 和 $B$ 发生的次数, 试求 $(X,Y)$ 的联合分布和边缘分布.

解

由题意 $X$ 和 $Y$ 的可能取值为 $0,1,2,\cdots ,n$. 由于试验是独立的, 按独立试验概型来计算得

$$P\left(X=i,Y=j\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-i\\ j\end{array}\right)p^i{q}^j{\left(1-p-q\right)}^{n-i-j},0\le i+j\le n.$$

而边缘分布分别为 $X\sim B\left(n,p\right)$ 和 $Y\sim B\left(n,q\right)$.