例 3.2.1 (从产品中任取4件的联合分布)

已知 10 件产品中有 3 件一等品, 5 件二等品, 2 件三等品. 现从中任取 4 件, 求其中一等品件数 $X$ 与二等品件数 $Y$ 的联合分布.

解

由题意,

• $X$ 的可能取值为 0, 1, 2 和 3;
• $Y$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3 和 4.

由于是任取 4 件, 所以可按古典概型计算得联合分布 $i=0,1,2,3$, $j=0,1,2,3,4$, $2\le i+j\le 4$,

$$\begin{array}{rl}{p}_{ij}& =P\left(X=i,Y=j\right)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{4-i-j}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)}.\end{array}$$

具体计算结果见表 3.2.

$$X\sim \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 35/210& 105/210& 63/210& 7/210\end{array}\right),$$ $$Y\sim \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 2& 3& 4\\ 5/210& 50/210& 100/210& 50/210& 5/210\end{array}\right).$$

表 3.2 (X, Y) 的联合分布

$X$ \ $Y$	0	1	2	3	4	$p_{i\cdot }$
0	0	0	10/210	20/210	5/210	35/210
1	0	15/210	60/210	30/210	0	105/210
2	3/210	30/210	30/210	0	0	63/210
3	2/210	5/210	0	0	0	7/210
$p_{\cdot j}$	5/210	50/210	100/210	50/210	5/210	1

Link to original