3.2.1 二维离散型随机向量联合分布列与边缘分布列

设二维离散型随机向量 $(X,Y)$ 的取值为 $\left(x_i,y_j\right)$, $i,j=1,2,\cdots$. 分布列为

$$P\left(X=x_i,Y=y_j\right)=p_{ij},i,j=1,2,\cdots .$$

显然有

1. $p_{ij}\ge 0$.
2. $\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1$.

此时, $(X,Y)$ 的联合分布函数为

$$F_{X,Y}\left(x,y\right)=\sum _{x_i\le x,y_j\le y}{p}_{ij},\text{\hspace{1em}(3.2.1)}$$

且对任 $a<b,c<d$,有

$$P\left(a<X\le b,c<Y\le d\right)=\sum _{a<x_i\le b,c<y_j\le d}{p}_{ij}.\text{\hspace{1em}(3.2.2)}$$

这说明 $(X,Y)$ 的统计特性完全由概率分布 $\left\{p_{ij},i,j=1,2,\cdots \right\}$ 确定. 也可将 $(X,Y)$ 的联合分布列制成如表 3.1 所示的方便形式.

表 3.1 二维离散型随机向量的分布列

$Y$ $X$	$y_1$	$y_2$	…	$y_j$	…	$p_{i\cdot }$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	…	$p_{1j}$	…	$p_1\cdot =\sum _j{p}_{1j}$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	…	$p_{2j}$	…	$p_2\cdot =\sum _j{p}_{2j}$
$⋮$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	…	$p_{ij}$	…	$p_{i\cdot }=\sum _j{p}_{ij}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$
$p_{\cdot j}$	$\sum _i{p}_{i1}$	$\sum _i{p}_{i2}$	…	$\sum _i{p}_{ij}$	…	1

Link to original

由于

$$\begin{array}{rl}{p}_{i\cdot }& =\sum _j{p}_{ij}=\sum _{j}P\left(X=x_i,Y=y_j\right)\\ & =P\left(X=x_i,\bigcup _{j=1}^{\infty }\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right),i=1,2,\cdots .\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{p}_{\cdot j}& =\sum _i{p}_{ij}=\sum _{i}P\left(X=x_i,Y=y_j\right)\\ & =P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }\left(X=x_i\right),Y=y_j\right)=P\left(Y=y_j\right),j=1,2,\cdots .\end{array}$$

可见 $\left\{p_{i\cdot },i=1,2,\cdots \right\}$ 和 $\left\{p_{\cdot j},j=1,2,\cdots \right\}$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布列.

• 例 3.2.1 (从产品中任取4件的联合分布)
• 例 3.2.2 (三项分布)
• 1.4