例 3.3.1 (二维随机向量的联合分布与边缘分布)

已知二维随机向量 $(X,Y)$ 的联合分布密度函数为

$$f_{X,Y}\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}kxy,& x^2\le y\le 1,0\le x\le 1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

1. 试确定 $k$ 的值.
2. 试求 $(X,Y)$ 落在区域 $D=\left\{\left(x,y\right)\mid x^2\le y\le x,0\le x\le 1\right\}$ 的概率.
3. 试求 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布密度函数.
4. 试问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立?

解

1

由于

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{X,Y}(x,y)dxdy& ={\int }_0^{1}dx{\int }_{x^2}^{1}kxydy\\ & =k{\int }_0^{1}x\left(\frac{1}{2}-\frac{x^4}{2}\right)dx\\ & =\frac{k}{6}\end{array}$$

由 (3.3.1) 知 $k=6$. 代入得

$$f_{X,Y}\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}6xy,& x^2\le y\le 1,0\le x\le 1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

2

由 (3.3.2) 有

$$\begin{array}{rl}P\left((X,Y)\in D\right)& ={\iint }_D{f}_{X,Y}(x,y)dxdy\\ & ={\iint }_{D}6xydxdy\\ & ={\int }_0^{1}dx{\int }_{x^2}^{x}6xydy\\ & ={\int }_0^{1}3x\left(x^2-x^4\right)dx\\ & =\frac{1}{4}.\end{array}$$

3

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{X,Y}(x,y)dy\\ & =6x{\int }_{x^2}^{1}ydy\\ & =6x\left(\frac{1}{2}-\frac{x^4}{2}\right)\\ & =3x(1-x^4),0\le x\le 1.\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{X,Y}(x,y)dx\\ & =6y{\int }_0^{\sqrt{y}}xdx\\ & =3y^2,0\le y\le 1.\end{array}$$

4

由 (3) 的结果知, $f_{X,Y}\left(x,y\right)\ne f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)$, 所以 $X$ 与 $Y$ 不相互独立.