例 3.3.3 (两独立信号干扰概率)

在某一分钟内的任何时刻, 信号进入收音机是等可能的. 若收到的两个独立信号的时间间隔小于 0.5 秒, 则信号将相互干扰. 试求一分钟内两信号相互干扰的概率.

解

设两信号进入收音机的时刻分别为 $X$ 和 $Y$, 则由题设有

• $X\sim U\left[0,60\right]$,
• $Y\sim U\left[0,60\right]$,
• $X$ 与 $Y$ 独立,

从而由 (3.1.9) 知, $X$ 和 $Y$ 的联合分布密度为

$$\begin{array}{rl}{f}_{X,Y}(x,y)& =f_X(x)f_Y(y)\\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3600},& 0\le x\le 60,0\le y\le 60,\\ 0,& \text{其他.}\end{array}\end{array}$$

由题意, 所求概率为

$$\begin{array}{rl}P\left(\left|X-Y\right|<0.5\right)& ={\iint }_{|x-y|<0.5}\frac{1}{3600}dxdy\\ & =\frac{1}{3600}\left(\text{正方形面积}-2\times \text{等腰直角三角形面积}\right)\\ & =\frac{1}{3600}\left(3600-2\times \frac{1}{2}\times 59.5^2\right)\\ & =\mathrm{0.0166.}\end{array}$$