命题 3.4.2 (线性变换下 n 维正态分布的分布特性)

设随机向量 $\mathbf{X}={\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)}^{\prime }$ 服从 $n$ 维正态分布,

• 期望向量为 $\mu ={\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\right)}^{\prime }$,
• 协方差矩阵为 $\Sigma$,

则对任意实数矩阵 ${\mathbf{A}}_{m\times n}$, 有 $\mathbf{AX}\sim N\left(\mathbf{A}\mu ,\mathbf{A}\Sigma {\mathbf{A}}^{\prime }\right).$