连续随机变量

对于二维连续型随机向量, 设 $(X,Y)$ 的联合分布密度函数为 $f_{X,Y}$, 则 $Z=X+Y$ 的分布函数为

$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P(Z\le z)=P(X+Y\le z)\\ & ={\int }_{x+y\le z}{f}_{X,Y}(x,y)dxdy\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }dx{\int }_{-\infty }^{z-x}{f}_{X,Y}(x,y)dy.\end{array}$$

对 $F_Z\left(z\right)$ 求导, 得到 $Z$ 的分布密度函数为

$$f_Z\left(z\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{X,Y}\left(x,z-x\right)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(3.4.4)}$$

若 $X$ 与 $Y$ 独立, 则

$$f_Z\left(z\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X\left(x\right)f_Y\left(z-x\right)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(3.4.5)}$$

也就是说, 两个独立随机变量和的分布密度函数为它们各自分布密度函数的 “卷积”.

• 1.7
• 5.6

最后, 对于 $n$ 维正态分布, 我们不加证明地给出如下两个重要命题.

命题 3.4.1 (n 维正态分布的充要条件)

以下命题等价

• 随机向量 $\mathbf{X}={\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)}^{\prime }$ 服从 $n$ 维正态分布
• 对任 $\mathbf{k}={\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)}^{\prime }\in {\mathbb{R}}^n$, ${\mathbf{k}}^{\prime }\mathbf{X}$ 服从 (一维) 正态分布.

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命题 3.4.2 (线性变换下 n 维正态分布的分布特性)

设随机向量 $\mathbf{X}={\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)}^{\prime }$ 服从 $n$ 维正态分布,

• 期望向量为 $\mu ={\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\right)}^{\prime }$,
• 协方差矩阵为 $\Sigma$,

则对任意实数矩阵 ${\mathbf{A}}_{m\times n}$, 有 $\mathbf{AX}\sim N\left(\mathbf{A}\mu ,\mathbf{A}\Sigma {\mathbf{A}}^{\prime }\right).$

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