例 4.1.11 (指数分布的方差)

设 $X\sim \mathrm{Exp}\left(\lambda \right)$, 试求 $\mathrm{Var}\left[X\right]$.

解

由例 4.1.6 知, $E\left[X\right]=\frac{1}{\lambda }$,而

$$\begin{array}{rl}E\left[X^2\right]& ={\int }_0^{\infty }{x}^2\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{{\lambda }^2}{\int }_0^{\infty }{y}^2{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}y\text{(参见例 4.1.6)}\\ & =\frac{1}{{\lambda }^2}\Gamma \left(3\right)\text{(参见例 4.1.6)}\\ & =\frac{2}{{\lambda }^2}\text{(参见例 4.1.6),}\end{array}$$

所以, 用 (4.1.9) 得

$$\mathrm{Var}\left[X\right]=\frac{2}{{\lambda }^2}-{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^2=\frac{1}{{\lambda }^2}.$$