4.1.2 随机变量的方差

上一节我们引入的随机变量的数学期望 (均值), 反映出随机变量的取值的平均值这样一个特征. 除此之外, 现实问题中人们还关心随机变量取值的分散程度或波动性.

Example

比如某水泥厂的一台打包机装一袋水泥的重量 (单位为 $\mathrm{kg}$ ) 在 $\left[50-0.5,50+0.5\right]$ 之间均匀分布,而另一台打包机装一袋水泥的重量 (单位为 $\mathrm{kg}$ ) 在 $\left[50-1.5,50+1.5\right]$ 之间均匀分布. 虽然两台打包机装一袋水泥的重量的均值都是 50, 但后者打出的一袋重量分散程度 (波动性) 较大.

本节引入的方差就反映随机变量取值的分散程度 (波动性) 的特征.

因为方差反映随机变量取值的波动性, 所以我们自然想到它取值相对于其均值的差别的大小. 所以有定义 4.1.3.

定义 4.1.3 (方差)

设随机变量 $X$ 有有限的数学期望,如果 $E\left[{\left(X-E\left[X\right]\right)}^2\right]<\infty$, 则称

$$\mathrm{Var}\left[X\right]=E\left[{\left(X-E\left[X\right]\right)}^2\right]\text{\hspace{1em}(4.1.6)}$$

为 $X$ 的方差. 而称 $\sqrt{\mathrm{Var}\left[X\right]}$ 为 $X$ 的标准差,记为 $\sigma \left[X\right]$.

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可见, 方差就是随机变量与其均值差的平方的平均值, 而标准差的引入是因为其量纲与 $X$ 的量纲相一致, 从而更好解释实际问题.

Transclude of 通过期望计算方差#statement

有时利用 (4.1.9) 计算方差比较方便.

• 例 4.1.9 (二项分布的方差)
• 2.2
• 例 4.1.10 (均匀分布的方差)
• 例 4.1.11 (指数分布的方差)
• 例 4.1.12 (泊松分布的方差)
• 例 4.1.13 (正态分布的方差)
• 2.5