例 4.1.4 (均匀分布的数学期望)

设 $X\sim U\left[a,b\right]$,试求 $E\left[X\right]$.

解

由于 $X$ 的分布密度函数为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& x\in \left[a,b\right]，\\ 0,& \text{ 其他,}\end{array}$$

所以, 由 (4.1.3) 有

$$E\left[X\right]={\int }_a^{b}x\frac{1}{b-a}\mathrm{d}x=\frac{a+b}{2}.$$

可见, $X$ 的均值位于区间 $\left[a,b\right]$ 的中点,这与我们的直观想法一致, 即 $X$ 的取值随试验结果的不同, 有时大于 $\frac{a+b}{2}$,有时小于 $\frac{a+b}{2}$. 但因为分布是均匀的, 其平均取值应为区间 $\left[a,b\right]$ 的中点 $\frac{a+b}{2}$.