例 4.1.8 (正弦函数的数学期望)

设 $X\sim U\left[0,2\pi \right]，Y=\sin X$. 试求 $E\left[Y\right]$.

解

由 (4.1.4) 有

$$E\left[Y\right]=E\left[\sin X\right]={\int }_{-\infty }^{\infty }\sin x{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{2\pi }\sin x\frac{1}{2\pi }\mathrm{d}x=0.$$

从例 4.1.8 中读者可以看出公式 (4.1.4) 的重要性. 因为在这里 $Y=\sin X$ 的分布密度函数 $f_Y$ 不易求得,于是通过 ${\int }_{-\infty }^{\infty }y{f}_Y\left(y\right)\mathrm{d}y$ 求 $E\left[\sin X\right]$ 就很麻烦.