第四章习题

4.1.

设二维随机变量(X, Y)的联合概率分布为

	0	1
0	$\frac{9}{25}$	$\frac{6}{25}$
1	$\frac{4}{25}$	$\frac{6}{25}$

试求 $E\left[X\right]，E\left[Y\right]$.

4.2.

设随机变量 $X$ 的分布密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{8}{x}^2,& 0\le x\le 2,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

求随机变量 $X$ 的期望 $E\left[X\right]$.

4.3.

假设机器在一天内发生故障的概率为 0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周 5 个工作日里无故障, 可获利 10 万元, 发生一次故障仍可获利 5 万元, 发生二次故障则获利为 0, 发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元. 试问一周内平均获利是多少?

4.4.

设随机变量 $X$ 服从参数为 0.5 的泊松分布, 试求随机变量 $Y=X/\left(1+X\right)$ 的数学期望 $E\left[Y\right]$.

4.5.

设二维连续型随机变量(X, Y)的分布密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-y},& 0<x<y,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

求 (1) $X$ 的数学期望. (2) $X^2$ 的数学期望. (3) $XY$ 的数学期望.

4.6.

现有 3 个袋子,各装有 $a$ 个白球和 $b$ 个黑球,先从第 1 个袋子中摸出一球,记下颜色后把它放入第 2 个袋子中, 再从第 2 袋子中摸出一球, 记下颜色后把它放入第 3 个袋子中, 最后从第 3 个袋子中摸出一球,记下颜色,记这 3 次摸球中所得的白球总数为 $X$,求 $E\left[X\right]$.

4.7.

设随机变量 $X$ 的分布列为求随机变量 $X$ 的方差.

$X$		1	5
$P$		0.6	0.2

4.8.

设随机变量 $X$ 的分布密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

求随机变量 $X$ 的方差.

4.9.

已知随机变量 $X$ 的分布密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2},& 0\le x\le 2\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

试求: (1) 随机变量 $X$ 的数学期望、方差和标准差. (2) $E\left[{\mathrm{e}}^X\right]$.

4.10.

设随机变量(X, Y)的联合概率分布为

$Y$ $X$	-1	0	1
-2	$a$	0	0
-1	0.14	$b$	0
1	0.12	0.16	0.32

已知 $E\left(X+Y\right)=0$,求: (1) $a,b$. (2) $\mathrm{Var}\left[Y\right]$. (3) $E\left[X^{2}Y\right]$.

4.11.

设随机变量 $X$ 的分布列为

$X$	-2	0	6
$P$	0.2	0.4	0.4

求随机变量 $X$ 的偏度.

4.12.

已知随机变量 $X$ 的分布密度函数为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\left|x\right|,& -1\le x\le 1\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

试求 $X$ 的峰度.

4.13.

已知 $\mathrm{Var}\left[Y\right]=36,\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=-12$,相关系数 $r\left(X,Y\right)=-0.4$,求 $\mathrm{Var}\left[X\right]$ 之

4.14.

设二维随机变量(X, Y)的分布密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& x^2+y^2\le 1\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

(1) 证明: $\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=0$. (2) 判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立.

4.15.

设随机变量 $X_1,X_2,X_3$ 独立同分布,且 $X_i\left(i=1,2,3\right)$ 的分布列为: $P\left(X_i=k\right)=$ $\frac{1}{2}\left(k=1,2,3\right)$,求 $Y=\max \left\{X_1,X_2,X_3\right\}$ 的数学期望.

4.16.

若(X, Y)服从二元正态分布 $N\left(-1,5,2,3,-0.5\right)$,试求 $Z=2X-3Y$ 的数字期望 $E\left[Z\right]$ 与方差 $\mathrm{Var}\left[Z\right]$.

4.17.

设(X, Y)的联合概率分布为

$Y$ $X$	0	1
0	0.1	$a$
1	$b$	0.4

已知 $P\left(X=1\mid Y=1\right)=\frac{2}{3}$,试求 (1) $a,b$ 之值. (2) $\mathrm{Cov}\left(X,2Y\right)$.

4.18.

设二维随机变量(X, Y)的联合概率分布列为

$Y$ $X$	-1	0	1
0	0.07	0.18	0.15
1	0.08	0.32	0.20

(1) 计算 $E\left[X^2\right]$. (2) 计算 $X$ 与 $Y$ 的相关系数. (3) 判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立.

4.19.

设二维随机变量(X, Y)的联合概率分布列为

$Y$ $X$	01
0	$\frac{9}{25}$$\frac{6}{25}$
1	$\frac{4}{25}$$\frac{6}{25}$

试求 $X+Y$ 与 $X-Y$ 的协方差.

4.20.

设二维随机变量(X, Y)的联合概率分布列为

$Y$ $X$	-1	0	1
-1	0	$\frac{1}{8}$	0
0	$\frac{1}{8}$	0	$\frac{1}{4}\frac{1}{1}$
1		$\frac{1}{4}$

计算条件期望 $E\left[X+Y\mid X=1\right]$.

4.21.

设二维连续型随机变量(X, Y)的分布密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}3x,& 0<x<1,0<y<x,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

给定 $Y=0.5$,求 $X$ 的条件数学期望 $E\left[X\mid Y=0.5\right]$.

4.22.

袋中有红、白、黑三种颜色球若干, 若从袋中任摸一球, 摸出的球为红球的概率为 $p_1$,摸出的球为白球的概率为 $p_2$. 现从袋中有放回地摸球 $n$ 次,共摸出红球 $X$ 次,摸出白球 $Y$ 次,试求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $r\left(X,Y\right)$.

4.23.

电视台有一节目 “幸运观众有奖答题”: 有两类题目, $A$ 类题答对一题奖励 1000 元. $B$ 类题答对一题奖励 500 元. 答错无奖励,并带上前面得到的钱退出,答对后可继续答题,并假设节目可无限进行下去 (有无限的题目与时间),选择 $A,B$ 类型题目分别由抛均匀硬币出现的正、反面决定. 已知某答题者 $A$ 类题答对的概率都为 0.4,答错的概率都为 $0.6,B$ 类题答对的概率都为 0.6, 答错的概率都为 0.4. 试求:

(1)该答题者答对题数的数学期望.

(2)该答题者得到奖励金额的数学期望.