例 4.1.10 (均匀分布的方差)

设 $X \sim U [a, b]$ ,试求 $Var [X]$ .

解

由例 4.1.4 知 $E [X] = \frac{a + b}{2}$ ,而

E [X^{2}] = \int_{a}^{b} x^{2} \frac{1}{b - a} d x = \frac{1}{3} (a^{2} + ab + b^{2}),

所以, 用 (4.1.9) 得

Var [X] = \frac{1}{3} (a^{2} + ab + b^{2}) - (\frac{a + b}{2})^{2} = \frac{( b - a ) ^{2}}{12} .