例 4.1.12 (泊松分布的方差)

设 $X\sim \mathrm{Pois}\left(\lambda \right)$, 试求 $\mathrm{Var}\left[X\right]$.

解

由例 4.1.2 知 $E\left[X\right]=\lambda$,而

$$\begin{array}{rl}E\left[X^2\right]& =\sum _{k=0}^{\infty }{k}^2\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\\ & =\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\\ & =\sum _{k=1}^{\infty }\left(k(k-1)+k\right)\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\\ & =\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}+\sum _{k=1}^{\infty }k\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\\ & ={\lambda }^2{e}^{-\lambda }\sum _{k=2}^{\infty }\frac{{\lambda }^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda \text{(参见例 4.1.2)}\\ & ={\lambda }^2+\lambda .\end{array}$$

所以, 用 (4.1.9) 得

$$\mathrm{Var}\left[X\right]=\left({\lambda }^2+\lambda \right)-{\lambda }^2=\lambda$$