例 4.1.13 (正态分布的方差)

设 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,试求 $\mathrm{Var}\left[X\right]$.

解

例 4.1.5 知 $E\left[X\right]=\mu$,由 (4.1.8) 有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}\left[X\right]& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(x-\mu \right)}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx\\ & ={\sigma }^2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{y}^2{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy\left(\text{变数替换 }y=\frac{x-\mu }{\sigma }\right)\\ & ={\sigma }^2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }(-y)d\left(e^{-\frac{y^2}{2}}\right)\\ & ={{\sigma }^2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\left(-y{e}^{-\frac{y^2}{2}}\right)|}_{-\infty }^{\infty }+{\sigma }^2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy\\ & ={\sigma }^2.\end{array}$$

可见, $X$ 的分布参数 ${\sigma }^2$ 为其方差. 因为方差越大, $X$ 取值的分散程度就越大,这与我们在 2.3.3 节中所述的相一致,即 $\sigma$ 越小则正态曲线越陡峭, $\sigma$ 越大则止态曲线越平缓.