例 4.1.2 (泊松分布的数学期望)

设 $X\sim \mathrm{Pois}\left(\lambda \right)$,试求 $E\left[X\right]$.

解

$$\begin{array}{rl}E[X]& =\sum _{k=0}^{\infty }k\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\\ & =\sum _{k=1}^{\infty }k\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }{e}^{\lambda }\\ & =\lambda .\end{array}$$

这说明泊松分布的参数 $\lambda$ 恰是服从该分布的随机变量取值的平均值.