例 4.1.5 (正态分布的数学期望)

设 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,试求 $E\left[X\right]$.

解

由于 $X$ 的分布密度函数为

$$f_X\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}},$$

所以, 由 (4.1.3) 有

$$\begin{array}{rl}E[X]& ={\int }_{-\infty }^{\infty }x\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx,\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }(\sigma y+\mu )e^{-\frac{y^2}{2}}dy\left(\text{change of variables: }y=\frac{x-\mu }{\sigma }\right),\\ & =\sigma \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }y{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy+\mu \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy,\\ & =\mu \text{.}\end{array}$$

可见, $X$ 的均值为其分布参数 $\mu$. 由于 $x=\mu$ 是 $f_X$ 图像的对称轴,所以这个结果直观上是显然的.

积分的计算