例 4.1.6 (指数分布的数学期望)

设 $X\sim \mathrm{Exp}\left(\lambda \right)$,试求 $E\left[X\right]$.

解

由于 $X$ 的分布密度函数为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x\in \left(0,+\infty \right).\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

所以, 由 (4.1.3) 有

$$\begin{array}{rl}E[X]& ={\int }_0^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx,\\ & =\frac{1}{\lambda }{\int }_0^{\infty }y{e}^{-y}dy\left(\text{change of variables: }y=\lambda x\right),\\ & =\frac{1}{\lambda }\Gamma (2)\left(\text{since }\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{y}^{\alpha -1}{e}^{-y}dy\right),\\ & =\frac{1}{\lambda }\text{(since }\Gamma (n+1)=n!\text{).}\end{array}$$

可见, $X$ 的均值为其分布参数 $\lambda$ 的倒数.